射影几何的产生与发展 2024-06-09 21:54:43 射影几何产生的历史背景1566年,科曼迪诺(F,Commandino,1509年-1575年)把阿波罗尼奥斯fApollonius)的《圆锥曲线论》的前四卷译成拉丁文,引起了数学家们对几何的关注,在短短几十年的时间里,人们便突破了传统几何的局限,创立了一门崭新的学科——射影几何。射影几何起源于透视法,而当时透视法主要应用于绘画,为了能在画布上画出大自然的真实样子,人们就需要解决一个数学问题:如何把三维的现实世界反映到二维的画布上,意大利的建筑师、数学家阿尔贝蒂(L,B,Alberti,1404年-1472年)认真考虑了这一问题,他在1435年写成的《论绘画》(1511年出版)一书中作了具体的阐述:在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板,设光线从眼睛出发射到景物的每一个点上,这些线叫投影线,设想每根线与玻璃板交于一点,这些点的集合叫做截景,显然,截景给眼睛的印象和景物本身一样,所以要画出一个逼真的画作,就要在玻璃板(实际是画布)上获得一个真正的截景。例如,人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD(图1)时,从O到矩形各点的连线形成一个投影棱锥,其中OA、OB、OC、OD是四根典型的投影线,若在人眼和矩形间插入一个平面,并连结四条线与平面的交点A’、B’、C’、D’,则四边形A’B’C’D’为矩形ABCD的截景,由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样,它们必然有相同之处,但从直观上看,截景和原形既不全等又不相似,也不会有相同的面积,截景甚至并非是矩形,那么,截景与原形究竟有什么共性呢?这正是阿尔贝蒂苦苦思索,却未找到答案的问题。阿尔贝蒂还考虑到:如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板,它们上面的截景将是不同的;如果从两个不同位置来观察景物,截景也将是不同的,但所有截景都反映同一景物,它们之间必然存在某种关系,于是他进一步提出问题:同一景物的任意两个截景间有什么数学关系?或者说有什么共同的特点?他留给后人的这些问题成为射影几何研究的出发点。射影几何的发展德扎格创立了射影几何射影几何的创始人是法国的建筑师德扎格(G,De-sargues,1591年-1661年),1639年,他发表了一本重要著作《试论圆锥与平面相交结果》,这部书推动了19世纪射影几何的蓬勃发展,被公认为是这一学科的经典著作,这本书在发表之初,没有受到数学家们的重视,德扎格把书印了50份,分送给他的朋友,但不久这些书便全部散失了,直到1845年,沙勒(M,Chasles,1793年1880年)才偶然发现了一个手抄本,波德(N,G,Pou-dral将其复制,使德扎格有关射影几何的成果重新出现在公众的视野当中,1950年,这部书的原版本终于在巴黎被发现,并得以复制发行。为什么德扎格的书在当时被忽略呢?主要有两个原因,一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了它的光芒,笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题,可以迅速得到数量的结果,而射影几何主要是研究几何的定性,由于当时的技术发展更需要解析几何这样的有力工具,所以解析几何更受欢迎,第二个原因是,德扎格的写作形式比较古怪,他引进了70个新术语,其中很多是从植物学中借用的,例如,他用棕(Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线,这类语句极不易理解,除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外,很少有人欣赏他的著作。德扎格数学思想的出色之处,首先在于他引进了无穷远点和无穷远线,阿尔贝蒂曾指出,画面上的平行线应交于一点,除非它们平行于玻璃板(如图1)例如,图1中的B’C’和A’D’便相交于某点O’,这一点不和BC或AD上任何普通的点对应,所以叫没影点,而除O’外的直线B’C’或A’D’上的任何点,都对应着BC或AD上某个确定的点,为了使B’c’与BC上的点以及A’D’与AD上的点有完全的对应关系,德扎格在AD及BC上引入一个新的点,叫做无穷远点,把它看作两平行线的公共点,所有平行于BC的直线都交于这一点,方向不同于BC的另外一组平行线,则有另外一个公共的无穷远点,由于平行线组的数目是无穷的,德扎格实际是在平面上引入了无穷多的新点,他假定所有这些点都在同一直线上,而这条直线则对应于截景上的水平线或没影线(即图1中的OO’),以这种新规定为前提,我们就可以断言“平面上任意两直线必交于一点”了,因为不平行线交于普通点而平行线交于无穷远点。在引入了无穷远点和无穷远线后,德扎格研究了这样的问题:设有点O(图2)及三角形ABC,则OB、OC、OA可看作三条投影线,ABC的一个截景为A'B'C’,其中A与A’对应,B与B'对应,C与C’对应,显然,AA’、BB’和CC'交于一点O,设AB与A’B’交于Q,AC与A'C'交于P,BC和B'C'交于R,德扎格证明了:Q、P、R必在一条直线上,这就是著名的德扎格定理:若两个三角形对应顶点连线共点,则对应边交点共线,不管两个三角形是否在同一平面,定理都是成立的,其逆定理也同样成立,德扎格在书中对二维和三维空间中的正、逆定理都作了证明。在深入研究投影性质的基础上,德扎格终于回答了阿尔贝蒂之前就提出的问题:同一实物的两个截景间有什么数学关系?这实质是—个投影下的不变性问题。德扎格把他的射影幾何思想用于圆锥曲线,并得到了许多新的结果:直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分;焦点相合的椭圆可退化为圆;焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线;等等,他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线,而是将其理解为圆的截景,圆不仅可以变换为椭圆,而且可以变换为开口的抛物线或双曲线,该曲线仍看作封闭的,只不过是一个点在无穷远而已德扎格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线,从而为圆锥曲线的研究开辟了广阔的前景,德扎格便将投影法推广到一般圆锥曲线,因为圆的截景可以是任意的圆锥曲线,而对合关系在投影后是不变的,从而揭示了圆锥曲线的一个重要性质。帕斯卡有关射影几何的研究成果帕斯卡(B,Pascal,1623年-1662年)是德扎格的学生,也是一位了不起的数学天才,他在微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引人注目的贡献。14岁时,帕斯卡参加了巴黎数学家的每周聚会,在德扎格的影响下,逐渐对德扎格的射影几何思想产生了兴趣,他尝试用射影法研究二次曲线,并在1639年写下了一本约八页的小册子《略论圆锥曲线》,笛卡儿看过以后,给予了高度的评价,遗憾的是這本书不久便失传了,直到1779年才被重新发现。帕斯卡的书中最著名的结果是下述定理:若一个六边形内接于一圆锥曲线,则每两条对边相交而得的三点在同一直线上,如图3.P、Q及R在同一直线上,若六边形的对边两两平行,则P、Q、R在无穷远线上,该定理被后人称为帕斯卡定理,在射影几何里是十分重要的。帕斯卡首先证明了该定理对圆成立,然后用投影法研究一般的圆锥曲线,若从上图平面外的一点作它的投射锥并取一截景,则截景必含一圆锥曲线及内接六边形,六边形的对边仍将交于一条直线上的三点,这条直线与PQR相对应,该定理确定了圆锥曲线上六个点的射影相关性,如果已知六个点中的五个,就能确定一条圆锥曲线,这个定理是射影几何中内容最丰富的定理之一,由它出发可以导出大量推论,例如:(1)如果一个三角形内接于一圆锥曲线,则其顶点上的切线与对边交于三个共线点,(2)若五边形ABCDE内接于一圆锥曲线,则AB、DE;BC、EA;CD与A点上的切线交于三个共线点,(3)内接于一圆锥曲线的四边形的两对对边,连同对着的顶点的两对切线,交于四个共线点,帕斯卡定理的逆定理:若一个六边形的三对对边的三个交点共线,则六边形顶点在一圆锥曲线上,也是成立的,但帕斯卡没有考虑过。射影几何中的新思想伴随着射影几何的诞生,一些新的数学思想出现了,开普勒(J,Kepler)在1604年出版的《天文学的光学部分》中提出:将椭圆的一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动,若动点移向无穷远,椭圆成为抛物线;若这个动焦点又出现在定焦点的另一方,抛物线就变成双曲线;当两焦点合而为一,椭圆变成圆,而双曲线的两焦点合在一起时,双曲线便退化为两直线,德扎格则采用更为有效的方法——投射取截法来实现二次曲线的连续变化,只要改变截景平面的位置,就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线以及双曲线,因此,对于圆成立的许多性质,都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次曲线也成立,这就为后来数学家的研究提供了一种相当一般的简便方法。从射影几何中产生的另一个新思想是变换和不变性,从某点向一图形作投影线,然后取截景,这就是把原图形变成了新的图形,而原图形中值得研究的性质是变换后保持不变的一些性质,这种变换思想不仅导致了另一门新学科——仿射几何的诞生,而且当人们用变换与不变性的观点来重新研究欧氏几何时,发现了三种几何的本质联系及从属关系,实际上,射影几何包含了仿射几何,而仿射几何包含了欧氏几何。虽然射影几何方面的工作最初是为了给画家提供方便,但它的意义远不止于此,在当时,它由于解析几何的发展而略显失色,甚至一度被人们遗忘,但到19世纪被人们重新发现时,德扎格和帕斯卡等人的杰出思想终于大放异彩,射影几何作为一个着重研究图形位置和相交方面性质的学科,终于成熟了。END 赞 (0) 相关推荐 【疯狂数学家】帕斯卡:他和笛卡尔什么仇什么怨?竟然无视笛卡尔的养生忠告? ★成为襄子特别读者: 点击上方「襄子的箱子」→右上角菜单栏→设为星标 这是[疯狂的智人]第 007 篇文章 [疯狂的数学家]第 007 篇文章 布莱士·帕斯卡于1623年出生于法国,比笛卡尔年轻27岁 ... 【路衍经济】基于高速公路服务区发展路衍经济的经营方式与商业模式研究 作者简介 陈楚宣:高级会计师.高级经济师,现任广东省交通集团有限公司副总会计师.战略发展部部长,广东粤运交通股份有限公司非执行董事.董事会审计及企业管治委员会成员.董事会薪酬委员会成员,广东省公路学 ... 求索与探疑:中国音乐史学发展的动力(二)——陈聆群、陈应时二位先生于学科建设的功绩和感怀 作者:洛 秦 内容提要 陈聆群.陈应时教授是我的老师和同事,提携和指引我走上学术道路.与二位先生学术共事的30多年经历,让我更清晰地看到他们对中国音乐史学的发展所作出的贡献.陈聆群先生是一位中国近现代 ... 以税源建设为核心 市北中央商务区发展楼宇经济和总部经济 信网7月27日讯 2020年是市北区全域建设国际航运贸易金融创新中心核心区攻坚突破的关键之年.面对市北"新天时.新地利.新人和"的叠加优势,中央商务区进一步明晰工作思路和路数打法, ... 欣看文化战线形势大好,还望组织队伍发展壮大 欣看文化战线形势大好,还望组织队伍发展壮大 文/常长平 回顾以往,眼看如今,文化战线,队伍由小到大.由弱到强,由劣变优,形势喜人.我们国家文明历史五千年来不断发展,成为世界上少有的文明大国.但是文化事 ... 解读国外碳交易市场发展如何 近年来多个国家性.区域性的碳排放交易体系已经建立或将要实施,如新西兰碳排放交易体系(2008年).美国的区域温室气体倡议(RGGI)(2009年).澳大利亚实施的碳价格机制(CPM)(2012年).美 ... 架构科创中心呼唤加快发展科技服务业 目前,随着全国各省市"两会"审议并出台当地的"十四五"发展规划,人们已然发现,科技创新在各地"十四五"规划中都是最重要也最突出的内容之一.特 ... 评估促发展,教育沐春风——辛置小学迎接市教科院领导教学评估检查 "草树知春不久归,百般红紫斗芳菲."在这春意盎然,清风拂面的季节里,市教科院王丽杰主任.齐海峰老师.卢蕊丽老师,教育办张主任.尹老师一行于5月6日莅临我校,进行了全面的教学评估检查 ... 神秘意识主导了宇宙发展? 神秘意识主导了宇宙发展? 神秘意识主导了宇宙发展? 展开 知识付费行业的发展现状 近年来,伴随知识付费风潮的兴起,知识付费市场不断扩大.我国知识付费用户规模呈现高速增长态势,在激烈的市场竞争下,包括知乎在内的各类知识内容平台,在"内容+用户+作者+服务"的基础上 ...