射影几何的产生与发展

射影几何产生的历史背景

1566年,科曼迪诺(F,Commandino,1509年-1575年)把阿波罗尼奥斯fApollonius)的《圆锥曲线论》的前四卷译成拉丁文,引起了数学家们对几何的关注,在短短几十年的时间里,人们便突破了传统几何的局限,创立了一门崭新的学科——射影几何。
射影几何起源于透视法,而当时透视法主要应用于绘画,为了能在画布上画出大自然的真实样子,人们就需要解决一个数学问题:如何把三维的现实世界反映到二维的画布上,意大利的建筑师、数学家阿尔贝蒂(L,B,Alberti,1404年-1472年)认真考虑了这一问题,他在1435年写成的《论绘画》(1511年出版)一书中作了具体的阐述:在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板,设光线从眼睛出发射到景物的每一个点上,这些线叫投影线,设想每根线与玻璃板交于一点,这些点的集合叫做截景,显然,截景给眼睛的印象和景物本身一样,所以要画出一个逼真的画作,就要在玻璃板(实际是画布)上获得一个真正的截景。
例如,人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD(图1)时,从O到矩形各点的连线形成一个投影棱锥,其中OA、OB、OC、OD是四根典型的投影线,若在人眼和矩形间插入一个平面,并连结四条线与平面的交点A’、B’、C’、D’,则四边形A’B’C’D’为矩形ABCD的截景,由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样,它们必然有相同之处,但从直观上看,截景和原形既不全等又不相似,也不会有相同的面积,截景甚至并非是矩形,那么,截景与原形究竟有什么共性呢?这正是阿尔贝蒂苦苦思索,却未找到答案的问题。
阿尔贝蒂还考虑到:如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板,它们上面的截景将是不同的;如果从两个不同位置来观察景物,截景也将是不同的,但所有截景都反映同一景物,它们之间必然存在某种关系,于是他进一步提出问题:同一景物的任意两个截景间有什么数学关系?或者说有什么共同的特点?他留给后人的这些问题成为射影几何研究的出发点。

射影几何的发展

德扎格创立了射影几何
射影几何的创始人是法国的建筑师德扎格(G,De-sargues,1591年-1661年),1639年,他发表了一本重要著作《试论圆锥与平面相交结果》,这部书推动了19世纪射影几何的蓬勃发展,被公认为是这一学科的经典著作,这本书在发表之初,没有受到数学家们的重视,德扎格把书印了50份,分送给他的朋友,但不久这些书便全部散失了,直到1845年,沙勒(M,Chasles,1793年1880年)才偶然发现了一个手抄本,波德(N,G,Pou-dral将其复制,使德扎格有关射影几何的成果重新出现在公众的视野当中,1950年,这部书的原版本终于在巴黎被发现,并得以复制发行。
为什么德扎格的书在当时被忽略呢?主要有两个原因,一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了它的光芒,笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题,可以迅速得到数量的结果,而射影几何主要是研究几何的定性,由于当时的技术发展更需要解析几何这样的有力工具,所以解析几何更受欢迎,第二个原因是,德扎格的写作形式比较古怪,他引进了70个新术语,其中很多是从植物学中借用的,例如,他用棕(Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线,这类语句极不易理解,除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外,很少有人欣赏他的著作。
德扎格数学思想的出色之处,首先在于他引进了无穷远点和无穷远线,阿尔贝蒂曾指出,画面上的平行线应交于一点,除非它们平行于玻璃板(如图1)例如,图1中的B’C’和A’D’便相交于某点O’,这一点不和BC或AD上任何普通的点对应,所以叫没影点,而除O’外的直线B’C’或A’D’上的任何点,都对应着BC或AD上某个确定的点,为了使B’c’与BC上的点以及A’D’与AD上的点有完全的对应关系,德扎格在AD及BC上引入一个新的点,叫做无穷远点,把它看作两平行线的公共点,所有平行于BC的直线都交于这一点,方向不同于BC的另外一组平行线,则有另外一个公共的无穷远点,由于平行线组的数目是无穷的,德扎格实际是在平面上引入了无穷多的新点,他假定所有这些点都在同一直线上,而这条直线则对应于截景上的水平线或没影线(即图1中的OO’),以这种新规定为前提,我们就可以断言“平面上任意两直线必交于一点”了,因为不平行线交于普通点而平行线交于无穷远点。
在引入了无穷远点和无穷远线后,德扎格研究了这样的问题:设有点O(图2)及三角形ABC,则OB、OC、OA可看作三条投影线,ABC的一个截景为A'B'C’,其中A与A’对应,B与B'对应,C与C’对应,显然,AA’、BB’和CC'交于一点O,设AB与A’B’交于Q,AC与A'C'交于P,BC和B'C'交于R,德扎格证明了:Q、P、R必在一条直线上,这就是著名的德扎格定理:若两个三角形对应顶点连线共点,则对应边交点共线,不管两个三角形是否在同一平面,定理都是成立的,其逆定理也同样成立,德扎格在书中对二维和三维空间中的正、逆定理都作了证明。
在深入研究投影性质的基础上,德扎格终于回答了阿尔贝蒂之前就提出的问题:同一实物的两个截景间有什么数学关系?这实质是—个投影下的不变性问题。
德扎格把他的射影幾何思想用于圆锥曲线,并得到了许多新的结果:直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分;焦点相合的椭圆可退化为圆;焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线;等等,他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线,而是将其理解为圆的截景,圆不仅可以变换为椭圆,而且可以变换为开口的抛物线或双曲线,该曲线仍看作封闭的,只不过是一个点在无穷远而已德扎格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线,从而为圆锥曲线的研究开辟了广阔的前景,德扎格便将投影法推广到一般圆锥曲线,因为圆的截景可以是任意的圆锥曲线,而对合关系在投影后是不变的,从而揭示了圆锥曲线的一个重要性质。
帕斯卡有关射影几何的研究成果
帕斯卡(B,Pascal,1623年-1662年)是德扎格的学生,也是一位了不起的数学天才,他在微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引人注目的贡献。
14岁时,帕斯卡参加了巴黎数学家的每周聚会,在德扎格的影响下,逐渐对德扎格的射影几何思想产生了兴趣,他尝试用射影法研究二次曲线,并在1639年写下了一本约八页的小册子《略论圆锥曲线》,笛卡儿看过以后,给予了高度的评价,遗憾的是這本书不久便失传了,直到1779年才被重新发现。
帕斯卡的书中最著名的结果是下述定理:若一个六边形内接于一圆锥曲线,则每两条对边相交而得的三点在同一直线上,如图3.P、Q及R在同一直线上,若六边形的对边两两平行,则P、Q、R在无穷远线上,该定理被后人称为帕斯卡定理,在射影几何里是十分重要的。
帕斯卡首先证明了该定理对圆成立,然后用投影法研究一般的圆锥曲线,若从上图平面外的一点作它的投射锥并取一截景,则截景必含一圆锥曲线及内接六边形,六边形的对边仍将交于一条直线上的三点,这条直线与PQR相对应,该定理确定了圆锥曲线上六个点的射影相关性,如果已知六个点中的五个,就能确定一条圆锥曲线,这个定理是射影几何中内容最丰富的定理之一,由它出发可以导出大量推论,例如:(1)如果一个三角形内接于一圆锥曲线,则其顶点上的切线与对边交于三个共线点,(2)若五边形ABCDE内接于一圆锥曲线,则AB、DE;BC、EA;CD与A点上的切线交于三个共线点,(3)内接于一圆锥曲线的四边形的两对对边,连同对着的顶点的两对切线,交于四个共线点,
帕斯卡定理的逆定理:若一个六边形的三对对边的三个交点共线,则六边形顶点在一圆锥曲线上,也是成立的,但帕斯卡没有考虑过。

射影几何中的新思想

伴随着射影几何的诞生,一些新的数学思想出现了,开普勒(J,Kepler)在1604年出版的《天文学的光学部分》中提出:将椭圆的一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动,若动点移向无穷远,椭圆成为抛物线;若这个动焦点又出现在定焦点的另一方,抛物线就变成双曲线;当两焦点合而为一,椭圆变成圆,而双曲线的两焦点合在一起时,双曲线便退化为两直线,德扎格则采用更为有效的方法——投射取截法来实现二次曲线的连续变化,只要改变截景平面的位置,就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线以及双曲线,因此,对于圆成立的许多性质,都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次曲线也成立,这就为后来数学家的研究提供了一种相当一般的简便方法。
从射影几何中产生的另一个新思想是变换和不变性,从某点向一图形作投影线,然后取截景,这就是把原图形变成了新的图形,而原图形中值得研究的性质是变换后保持不变的一些性质,这种变换思想不仅导致了另一门新学科——仿射几何的诞生,而且当人们用变换与不变性的观点来重新研究欧氏几何时,发现了三种几何的本质联系及从属关系,实际上,射影几何包含了仿射几何,而仿射几何包含了欧氏几何。
虽然射影几何方面的工作最初是为了给画家提供方便,但它的意义远不止于此,在当时,它由于解析几何的发展而略显失色,甚至一度被人们遗忘,但到19世纪被人们重新发现时,德扎格和帕斯卡等人的杰出思想终于大放异彩,射影几何作为一个着重研究图形位置和相交方面性质的学科,终于成熟了。

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