动区域流动传热控制方程那点事

在数值计算实践中经常遇到动区域的问题，很多时候这些区域都会涉及到非惯性的运动（非静止及非匀速直线运动），比如说

波浪中行驶的轮船

留声机

这类系统都属于所谓的非静止或非匀速直线运动系统，这里我们暂且称之为非惯性系统。此类系统内常涉及流动传热问题，例如换热装置内的对流换热问题等。

非惯性系统内的流动传热过程受到系统运动的影响，通常比惯性系统表现出更为复杂水热力规律。

建立此类问题的数学模型通常基于两种方法，即动网格法(刚体运动型动网格)和非惯性坐标系法。

尽管这两种方法所对应的控制方程有着明显差异，然而很多朋友对两种方法所用的控制方程的差异并不清楚，有时甚至错用方程，所得计算结果往往与实际情况大相径庭。

为了让大家对计算动区域问题常采用的动网格法和非惯性坐标系法两种方法对应的控制方程有一个清晰的认识，笔者特撰写此文，希望对大家有所帮助，不对之处欢迎指正。

非惯性坐标系法

建立此类动区域水热力数学模型最方便的途径，就是将控制方程建立在随区域一起运动并保持相对静止的坐标系内，这种坐标系称为随体坐标系或非惯性坐标系。

滑块在动，传送带也在动

在非惯性坐标系内，计算区域的网格是固定的，网格的大小形状和空间位置不变，不随系统的运动而更新，因此省去了很多网格更新和离散系数更新所需的计算资源，同时程序编写也较为简单。

但是，由于坐标系与运动系统相对静止，系统的运动效应的提现就需要通过引入惯性力来实现。

何谓惯性力呢？

科里奥利力

如图所示，从我们的视角来看，小球在转盘上运动的轨迹是直线，但是在转盘上的一点来看，小球的轨迹就成了一条曲线。

根据我们惯性系下的常识，曲线运动一定是有力的作用，运动方向才会改变，所以我们就在非惯性系下给小球人为规定一个与速度方向垂直的力，这就是科里奥利力，是一种典型的惯性力。

这样你就很好理解为什么在非惯性系统内建立的控制方程（仅动量方程）需要引入惯性力了。

在非惯性坐标系下，动量方程的通用形式可以表示为：

其中，vi为速度v在不同坐标方向的分量，Svi为广义源项，Γvi为动量扩散系数，fi为单位体积流体受到的惯性力在i方向上的分量。

对于一个多自由度运动的系统，惯性力包括科里奥利力、欧拉力（或称为切向力）、向心力、以及直线加速引入的惯性力，前三者在旋转系统内存在。因此，在非惯性系统内，流体体积力的矢量表达式为

等号右边每一项依次为线性惯性力、欧拉力、科里奥利力以及向心力。

综上所述，如果在非惯性坐标系内建立控制方程，一定要在方程中引入正确的惯性力，这样才能准确描述系统运动对其内部水热力规律的影响。

动网格法

动网格法是一种基于ALE（Arbitrary-Lagrangian-Eulerian ）法建立控制方程并按照一定的算法更新网格的方法。

这种方法兼具Lagrange方法和Euler法的优点：在边界运动的处理上它引进了Lagrange方法的优点，能有效地引入边界的运动；在内部网格的划分上，它吸收了Euler法的优点，即使内部网格单元独立于材料而存在，但它又不完全和Euler网格相同，网格可以根据定义的参数在求解过程中适当调整位置，使得网格不致出现严重的畸变。

以上概念读起来似乎有些抽象，但我们只需记住两点，一是动网格法已经引入了边界运动的影响，即区域运动的影响可以由固体边界传给流体材料，二是动网格法控制方程是建立在惯性坐标系内。因此，基于动网格法建立的控制方程不能像非惯性坐标系法那样包含惯性力项。

动网格法对应的通用方程通用形式表示为：

式中φ为通用变量，可代表速度、温度、浓度等物理量；ug为网格的运动速度，其参考系为惯性参考系（与地面相对静止），其他变量同非惯性系法的控制方程。

从通用控制方程中可以看出，基于动网格系统内的控制方程在对流项中的速度中减去了一个网格速度，而其他项中的速度无须减网格速度。因此，只要涉及对流项的方程，例如动量方程、能量方程、组分方程、k-ε等，都需要在对流项的速度上减去网格速度。

总结

对于动区域内的流动传热问题，可以通过非惯性坐标系法和动网格法两种方法建立控制方程，但两种方法对应的控制方程有明显的差异。在非惯性坐标系下，动量方程中需要引入惯性力的影响，但在动网格方法下，控制方程中不能包括惯性力项，但对流项中的速度要减去网格速度。

在后面的推送中，我们将会给大家介绍动网格法和非惯性坐标系法在求解流动和传热问题中的计算性能差异情况，尽请期待。

装满水的水桶旋转过程

作者：

禹国军，男，博士，副教授，本硕博毕业于中国石油大学（北京），上海交通大学博士后出站，现任职于上海海事大学热能与动力工程系。主要从事相变储能、建筑节能与室内污染物控制、流动与传热数值计算方法、石油与天然气储存与管道输送技术等方面的研究。

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