【名师支招】浅析代数方程含参讨论“只有一个实数根”(增强版)

分式方程、无理方程含参讨论问题是学生在八下学习过程中可以拓展的难点，比如方程“只有一个实根”，在不同的题境下含义有所不同，变化多端，在此笔者收集了一些典型的问题，通过梳理，希望能找到一些有益的思考策略。

例1

分析

将分式方程化为整式方程后，化简得：

2x^2-2x+4+m=0．

原分式方程只有一个实根，有两种可能：

① △=0，化为的一元二次方程有两个相等的实数根，原分式方程只有一个实根（注：“重根”仅出现在一元整式方程对于根的情况的表述中）

② △>0，化为的一元二次方程有两个不相等的实数根，但对于原分式方程而言，其中一个根是增根．

解答

反思

考虑全面了吗？

有家长提出“△=0”时，还需要进一步检验：此时的实数根是否为增根，并编制了一道，“△=0”时求出的根就是增根的实例。（作为老师，多希望提出质疑的不是家长而是学生本人啊~）

例2

解答

这一定是一元二次方程吗？

不一定！当a=±1时，就是一元一次方程，一元一次方程只有一个实数根.

当a≠±1时，是一元二次方程，若方程只有一个实数根，一般还要考虑两种情况：

① 当△=0时，化为的一元二次方程有两个等根，对于原分式方程该根不是增根，则原分式方程只有一个根；

② 当△>0时，化为的一元二次方程有两个不等根，对于原分式方程有且只有一个是增根，则原分式方程只有一个根.

那此时潜在的增根是谁呢？那就要聊聊“增根”是如何产生的？

根据《沪教版八下》教材，关于增根产生0的原因分别在“分式方程”和“无理方程”两节有所叙述.

教材中的解释的关键在于，分式方程化整式方程、无理方程化有理方程过程中未知数的允许取值范围扩大了，那些属于转化后方程的根且不在原方程取值范围内，就称之为“增根”.

x=1是增根?不对，换元后是关于y的方程，应该考虑y的取值范围，那y的取值范围是什么呢？

所以y=1就是那个潜在的增根！

例3

解法一

当心：-2x-m=(47/8)-(40/8)<0

经检验，x=-47/16对原无理方程而言是增根，m=(49/8)不符条件，舍.

要加强检验意识，有可能“化为整式方程的唯一的根是增根”，此时原方程无解！

为了确定可能的增根，则须先确定x的取值范围.（在课堂上，梁莫言同学提出）

如果是方程x+3=(2x+m)^2的解，则x+3≥0，也就是说只需考虑'2x+m'的正负，即若原方程有两个解x1、x2，若x1是增根、x2是原方程的根，则

解法二

反思

分式方程可能的增根是使最简公分母为零的有限个数，但无理方程根允许的取值范围常常是区间，怎么能确定两个根一个在允许的取值范围内，一个不在允许的取值范围内呢？

解法二提供了一种更简洁的解决策略：“换元法”.令y=√(x+3)，则y的取值范围是：y≥0，若求出的y为负，则它为增根，所以其精髓在于以“0”为界！

一增一实根→一负一非负→两数积非正!

课堂板书

练习

解答

再继续往后推进之前，应先确定x的取值范围！

观察一元二次方程的系数，利用根与系数关系，确定方程根的特征！

考虑到两根和为正，两根积为正，则方程两根皆为正.

因为两根积是9/4（已经排除重根可能），则两个不等根必然一个大于3/2（是原方程的根）,一个小于3/2（是原方程的增根）符合题目要求。

但是！有一个bug，x=2.

 · 小结 · 

分式方程、无理方程含参讨论问题一般总要先化归为整式方程，而现在所学的整式方程主要就是一元一次方程和一元二次方程，鉴于此，原方程只有一个实数根，一般有三种情况：

① 化为的整式方程是一元一次方程；

② 化为的一元二次方程有两个相等的根（即△=0）；

③ 化为的一元二次方程有两个不等根（即△>0），且其中有且只有一个增根.

所以处理此类问题：

首先要判断化为的整式方程属于一次方程还是二次方程，关键看二次项系数是否含参？若含参则需讨论二次项系数是否为零？

如果确定是一元二次方程，则当△=0时整式方程有一组重根，如果这组重根不是原方程的增根，则应是符合条件的一种情况.

如果确定是一元二次方程，则当△>0时整式方程有两个不等根，若其中一个根是增根（经检验另一个根是原方程的根）也是符合条件.

由于增根是不在原方程的取值范围内，所以首先需要确定原方程允许的取值范围，对于分式方程而言，可能的增根就是使最简公分母为零的有限个数，而无理方程则比较复杂，可以考虑运用“换元法”和“根与系数”关系综合考虑.

总之，此类问题，对于同学思维的严谨性提出了比较高的要求，有较大的思维训练价值，在学生资质允许的条件下，不妨让学生试试。