极坐标系下的奇妙曲线图像
翻译小组成员介绍: 劉雄威
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大多数人都熟悉笛卡尔坐标系，它将平面上的每个点
指定给两个坐标。要查找
需从起点
开始，沿横轴走
个单位距离和沿纵轴走
个单位距离(见下左图)。

但还有另一种坐标系也非常好，它用于飞机的定位。对于每个点
分配一个数对
，其中
是原点
沿直线到
的距离，
是从
轴的正半轴逆时针旋转至原点与
点所连成的径向线所夹的角度。

这些新坐标称为极坐标，之所以这么命名，是因为我们将轴的交叉点视为所有事物从中辐射出来的极点（见上图）。
如何在极坐标系中表示出简单的图形?从上面的交互性可以看出，以
为端点的射线图形由
值唯一确定，例如，
轴的正半轴由以下方程表示
以及夹于 轴的正半轴和 轴的正半轴中间位置的射线由以下方程表示
一般来说，方程
描述以
为端点，与
正轴的夹角为
的射线。
那么如何用极坐标系来表示圆形呢?我们知道以
为圆心、
为半径的圆，其所有点都落在距离(0,0)有
个单位的位置上。因此，我们可以用以下方程来描述极坐标系中的圆
此表达式比笛卡尔坐标系中的圆的方程简单得多，即
然而描述不穿过点
的直线和不以
为圆心的圆的极坐标方程比其笛卡尔坐标方程复杂。但也有一些图形，其表达式使用极坐标方程比使用笛卡尔坐标方程要简单得多。以下是我们最喜欢的三个例子。
▌阿基米德螺旋(Archimedean spirals)
让我们来画出这个极坐标
对应方程的图像
换句话说，我们要寻找的是满足极坐标为
的所有点，以观察它所形成的图像是什么样的。
下图表示当
值从
变化到 2
时对应的图像。在图像上每个点的极坐标皆为
，可以看出随着
值的"增加"，点的位置也逐渐远离
。
于是我们有了一个螺旋的雏形!
但为什么要停在
呢?我们可以继续转动径向线使图像超过一个整圈(
)、转过一圈半(
)、两圈(
)，以此不断增加一圈又一圈。然后，我们便可看到随着图像从
转动到
，点
到原点
的距离会逐渐增加，从
到
，让
从
增加到
，则可以看到图像上的点距离原点越来越远。下图表示了
从
到
的图像。
使
一直增加到无穷大，会得到一个以
为中心的无数圈的螺旋：
这个美妙的形状被称为阿基米德螺旋，以伟大的希腊数学家阿基米德的名字命名，他在公元前三世纪发现了它。从图片中可以看出，螺旋的循环间隔均匀：如果以
为端点画一条射线（即径向线），则可以看到螺旋上的任意两个连续交点之间的距离始终为
。
还有其他类型的阿基米德螺旋，其特征是螺旋与径向线的连续交点之间的间隔始终相等。它们可以归纳为以下方程
其中
为正实数。使
值不断变化，您便可以看出，
值决定了螺旋的紧密程度，因此，
值也决定了螺旋与径向线的连续交点之间的间隔。下图为
由
降到
的对应图像。

如果您更喜欢物理解释，那么当您追踪从中心向外出发且以恒定角速度移动的点的路径时，您也会得到阿基米德螺旋。
▌对数螺旋(Logarithmic spirals)
现在，让我们来看看下述方程的图像
其中
是自然常数，
当
时，我们得到
因此，我们的形状包含具有极坐标的点
(其笛卡尔坐标恰好也是
)。下图表示
值从
到
对应的图像。每个点
对应的坐标为
。这里我们再次看到了螺旋的雏形，但这次有所不同。
同样地，我们使
从
增加至
、
等不断递增。然而，这一次螺旋的循环没有均匀地间隔。

这是对数螺旋的一个例子。它之所以称为对数螺旋，是因为其表达式
也可以表示为
其中ln是以自然常数e为底数的自然对数。
(还有一种更一般的对数螺旋形式，其表达式为
其中
和
都是正实数。)
但这里还有另一种玩法：我们可以令角度值
变成负数！要查找第二极坐标（即
坐标）为负值的点，您需要从
正轴开始朝另一个方向度量角度：即顺时针方向。例如，具有极坐标
的点位于
轴的负半轴。
这对于对数螺旋意味着什么?当
值从
到
变化时，图像上的螺旋线将以顺时针旋转一、二、三乃至无数圈。作螺旋线，其点
对应的坐标为
但现在随着
不断减小趋向
，螺旋线也不断向内部移动，趋近于
，这是因为
所以如果随着
减小且趋于
，那么
会不断增大且趋于
，所以 1
是正值，且趋近于
。
下图显示了当
不断减小至
时，点
的变化情况。 
让
值从
变化
，就会产生一个双向无限的螺旋，它既没有起点，也没有终点。

▲ 完全对数螺旋
但请注意。正如您从图像中所见，这张图片看起来和上面的图片的差不多，即使这里的
轴和
轴覆盖的范围要小得多。这表明了对数螺旋的一个非常有意思的特点。如果使对数螺旋的图片放大或缩小，那么你看到的图片将会看起来与放缩前完全一样，该特性称为自相似性。这可能是对数螺旋在自然界中如此普遍的原因。你可以在蜗牛壳的漩涡和许多植物，甚至在螺旋星系的螺旋臂中看到它们。
17世纪的数学家雅各布·伯努利被这个美丽的形状迷住了，他称之为"spiral mirabilis"(奇迹般的螺旋)，并要求把它刻在他的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”。不幸的是，雕刻师弄错了，他最终在他的坟墓上雕刻的是阿基米德螺旋而不是对数螺旋。
▌极地玫瑰
我们要介绍的最后一个图形，或者更确切地说，最后一组图形，让我们先从这个方程开始
( || 符号代表绝对值，因此
恒为正值)
要了解这个方程，让我们先复习一下正弦函数的图像，下图是横轴对应
值而纵轴对应
值时的图像变化情况：

加上绝对值意味着，图像中横轴以下的部分（该部分
为负值）应该翻折到横轴以上的位置：
您可以看到，当
从
升到
时，
从
上升到最大值
(在
处)，然后下降到
(在
处)。
现在，让我们回到极坐标。当
从
变化到
时，原点
到点
(在
处)变化到
(在
处)，然后回到
(在
处)，这将在极坐标系的上半平面画出一个小圆圈。然后，当
从
变化到
时，
值也跟上述变化相同，这将在极坐标系的下半平面画出一个小圆圈。

现在，让游戏变得复杂些，并观察这个方程
新的因数
意味着上述图中的出现的两个圆圈的范围从
到
变成现在只出现在
到
。即两个圆圈都出现在上半平面上，因此变得有点拥挤。当
从
移动到
时，
的值也从
变到
，函数的值是周期性的(
具有与
相同的函数值)，现在我们一对圆圈的镜像也出现在下半平面中：

我们有一朵有四瓣的花! 那么下面这个方程会发生什么