谈谈无穷

有人说，数学是研究无穷（无限）的学科，或者说，只要是稍微“高深”一点的数学，就一定会遇到无穷，有道理。

经常和数学作对比的物理，是没有无穷的。我在上大学时遇到这么个问题：按照库仑定律，点电荷附近的场强是不是无穷大？老师给出的答案是否定的，因为当你非常接近所谓的“点电荷”时，“点电荷”这个物理模型已经不适用了。再比如电容器储存的电能和电荷有关，所以电容器的充放电都需要一定时间，这是因为电能不能突变（电能对时间的导数不能无限大），如此等等。

数学里存在着真正的“无穷”，可能是因为数学主要是一种“思维”游戏而不是现实的简单反映。以定积分为例，基本思路是把研究对象划分为无穷多份，每一份都无限变小，然后把这么多的小部分加在一起。这在物理上根本就说不通：当我们还远远没有达到“无穷小”的时候，物质已经变成了分子、原子以及各种说不清的“子”，哪还有原来的连续性质？所以物理课上专门发明了一个词汇——宏观无穷小，用来描述这种忽略物质不连续性的“无穷小”，也就是说，你尽管把物质看成连续的，埋头算下去，不要管物理上实际会出现的不连续。

这种做法有个好处，那就是我们有时我们算有限的东西可能很难，而算无限的东西却很简单，事情有时就是这么奇怪。我再举个例子，比如我们要计算晶体内相互作用问题，显然晶体的大小是有限的，但是这样计算起来远不如把晶体看作无限大方便。自然，无穷也会带来困扰。比如若干数学悖论就和无穷有关，而悖论又不像物理中的佯谬那样可以通过实验解决。

物理上不出现“无穷”还有实际上的屏障问题，比如速度就有个天然上界，而数学上就没有这种东西。宇宙的大小，当然是更强烈的限制，而数学上不但有无穷大，还有若干不同级别的无穷大，乃至有的无穷大已经完全超出了人类的想象，没有对应物了。

▲ 88年上海教育出版社出版

我国大数学家谷超豪在这本《谈谈数学中的无限》里说到自己学数学时的体验，讲到“有几项内容对我有很深刻的印象”：循环小数，平行直线可以看成为在无限远处相交，整数的全体和偶数的全体“一样多”，无限级数。作为大数学家的一本小书，比起学习解难题的技巧，作者更强调“丰富而严密的思维和想象的能力”，并希望读者从中“可以见到一些数学概念的产生的背景和过去的数学家们的创造力和想象力”。我觉得，大家读一读这样的书，比埋头刷题可能更有益处，有助于了解什么是“真正的数学”。

[遇见君]：《谈谈数学中的无限》应该有88年、2000年两版，对本书感兴趣的朋友应该能在各大图书馆借阅，或网上有二手书可淘，前两者都没找到的话也可以加小编微信(meetmath_axiom)获取电子版。