855皮亚诺的算术，符号创造还是发现？过客与生命之树———读皮亚诺之二

有一首古老的英语民歌，描述走出野蛮的人类最常做的三件事：
Reading， 读啊!
Writing, 写啊！
Rithmetic，算啊！（摘自丹齐克著《数科学的语言》第16页）

这三个最普通的人类行为，都和各个人群所使用的自然语言相关。而算啊！通常就是指的算术运算。这就把我们引向了算术，引向了数学家对于算术基础的研究。刚刚接触过德国的戴德金，现在，我们的算术旅程向东进发，从德国移向意大利，从德国的戴德金东行至意大利的数学家皮亚诺。
皮亚诺的算术理论，看他的那本《用新方法呈现的算术原理》一文，他给出了一套约定符号。皮亚诺的这个符号约定，把我的思路发散开了。如开首的那几句短诗，“读啊！写啊！”所言，这读的写的，常常不就是各自的母语，各种各样的自然语言么？我从算术的语言，很自然地想到了自然语言。
自然语言，包括其文字，其实就是一个约定，自然语言无非是某个共同地域人群，通过约定俗成而用于沟通的工具。无论哪一种自然语言，都是长时期不断通约的结果。到了近现代，国家权力与民族认同的需要，就出现周有光老先生谈论 世界范围内的语言文字时，所言的诸多情形：
新兴国家要求创制文字，多民族国家要求调整文字，文字不适用的国家要求改革文字，国际团体和国际会议要求规定公用文字。（周有光《世界文字发展史》第21页）

这样，语言文字，因权力的参与而需要的约定就更多了。只要是语言文字，也就一概具有“公共”“公用”“共享”的意义在内。由此，因公共圈地的范围不同，而语言文字也就各不相同。周先生没有提到科学家所创制的语言文字，他仅就国家层面讨论自然语言的文字通约。如果把语言文字的范围放得更宽一些，近现代科学的符号体系，其实也是语言的范畴，就像人们把数字看作是科学的语言那样。皮亚诺为算术引入的一套符号结构，不就是一套算数语言么？不过，这个语言需要自然语言在其中同时参和才行，这就如同计算机语言一样，在自然语言基础上构造的计算机语言，才是人们可以理解的专业语言。

一、皮亚诺给最普通的算术做了一套符号语言
数学家给数学做一套语言，布尔的代数和莱布尼兹的普遍语言都是例子。但那不是为最普通的算术做的，为算术做一套公理化的语言系统，直到19世纪末叶，才由皮亚诺做成功。前面谈到自然语言的约定特性，皮亚诺算术语言和自然语言相比，它有约定，却大都并非俗成，其中颇含构建者的智慧。仅就这部分智慧而言，大概才有点“俗成”的味道。皮亚诺的算术语言，它大概是以自然语言为元语言，本身作为对象语言呈现的。这是一套专业化的人工语言，或者说构造的是一套人工符号系统。在这套系统中，容纳着普通算术理论中的种种观念。
算术操作，它已经普通得不能再普通，基础得不能再基础了。竟然还可以用公理化的符号，来构建其更深层的基础。这人类智慧的基础，恐怕就是算术了。所以，还是那本《数科学的语言》一书的第36页中，继续谈到算术时，就有这么一段话：
算术是一切数学的基础，不论纯粹数学还是应用数学。它是一切科学中最有用的；而且也许在人类的知识中，没有哪一门在人群中有更广泛的传播了。

就是在如此之基础的算术本身中，还可以往下往下，往更底层挖掘，这应该是人类智慧的奇观了。
让我们开始浏览一下这种奇观吧。
这套符号约定系统，在皮亚诺公理化算术中，共分为五大部分：
第一部分，序言：算术公理化的由来。
第二部分，给定一套逻辑符号（signs），算术符号，合成符号。
第三部分，命题篇。即逻辑与算术层面的各种命题表达方式，共分七小类描述。
1、命题表达式的形式
2、命题形式与相关词汇的进一步说明。
3、排列出43个属于定理的命题，皮亚诺称之为逻辑命题，这些逻辑命题也可