Algorithm：树相关算法(BBT/BST/B树/R树)简介(二叉查找树、二叉查找树的插入节点、二叉查找树的删除、二叉树的遍历、平衡二叉树)C 语言实现
Algorithm：树相关算法(BBT/BST/B树/R树)简介(二叉查找树、二叉查找树的插入节点、二叉查找树的删除、二叉树的遍历、平衡二叉树)C++语言实现目录参考文章：Algorithm：【Algorithm算法进阶之路】之数据结构基础知识树的基础知识树Tree是一种抽象数据类型ADT，或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：(1)、每个节点有零个或多个子节点；(2)、没有父节点的节点称为根节点；(3)、每一个非根节点有且只有一个父节点；(4)、除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；1、二叉树的遍—前序、中序、后序二叉树的遍历，都要从先从左区域开始遍历。1、前序遍历、中序遍历、后序遍历注：根结点Degree、左子树L、右子树R先(根)序遍历(根左右DLR)：中(根)序遍历(左根右LDR)：BST的中序一定是递增有序的序列！后(根)序遍历(左右根LRD)：结论：(1)、二叉树结点的DLR、LDR、LRD中，所有叶子结点的先后顺序都是一致的，因为所有的叶节点都是从左到右的！前序遍历：先(根)序遍历，根左右DLR根节点→前序遍历左子树(DLR)→前序遍历右子树(DLR)
中序遍历：中(根)序遍历，左根右LDR。BST的中序一定是递增有序的序列！中序遍历左子树(LDR)→根节点→中序遍历右子树(LDR)(1)、比如35是因为3就是节点5的左子数；67是因为7是6的右子树，所以先遍历6的左子树即空→根节点6→右子树7
后序遍历：后(根)序遍历，左右根LRD后序遍历左子树(LRD)→后序遍历右子树(LRD)→根节点
2、相关结论(1)、二叉树结点的DLR、LDR、LRD中，所有叶子结点的先后顺序都是一致的，因为所有的叶节点都是从左区域到右区域的！3、问题类型(1)、通过前序中序求后序Algorithm：【Algorithm算法进阶之路】之数据结构(数组、字符串、链表、栈、队列、树、图、哈希、堆)相关习题一、二叉树1、CBT—FBT一定是CBT参考文章：Algorithm：【Algorithm算法进阶之路】之数据结构基础知识2、BST—二叉查找树BST的增删改查1、BST的查找节点
查找某节点p的过程如下：n 将当前节点cur赋值为根节点root；n 若p的值小于当前节点cur的值，查找cur的左子树；n 若p的值不小于当前节点cur的值，查找cur的右子树；n 递归上述过程，直到cur的值等于p的值或者cur为空；o 当然，若节点是结构体，注意定义“小于”“不小于”“等于”的具体函数。2、BST的插入节点
原理要符合二叉树的建立。n若当前的二叉查找树为空，则插入的元素为根节点，n若插入的元素值小于根节点值，则将元素插入到左子树中，n若插入的元素值不小于根节点值，则将元素插入到右子树中，n递归上述过程，直到找到插入点为叶子节点。3、BST的删除节点记待删除的节点为p，分三种情况进行处理待删除点为叶子节点：p为叶子节点，直接删除该节点，再修改p的父节点的指针待删除点只有一个孩子：若p为单支节点（即只有左子树或右子树），则将p的子树与p的父亲节点相连，删除p即可。待删除点只有一个孩子：若p的左子树和右子树均不空，则找到p的直接后继d(p的右孩子的最左子孙)，因为d一定没有左子树，所以使用删除单支节点的方法：删除d，并让d的父亲节点dp成为d的右子树的父亲节点；同时，用d的值代替p的值；(1)、对偶的，可以找到p的直接前驱x(p的左孩子的最右子孙)，x一定没有右子树，所以可以删除x，并让x的父亲节点成为x的左子树的父亲节点。
3、BBT—平衡二叉树BBT→AVL/RBT
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个变体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找BST树退化成链表的问题，把插入、查找、删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。1、BBT的动机对一棵查找树（search tree）进行查询/新增/删除 等动作, 所花的时间与树的高度h 成比例, 并不与树的容量 n 成比例。如果可以让树维持矮矮胖胖的好身材, 也就是让h维持在O(lg n)左右, 完成上述工作就很省时间。能够一直维持好身材, 不因新增删除而长歪的搜寻树, 叫做balanced search tree（平衡树）。2、BBT的特点：BBT是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。BBT常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树、SBT等。最小BBT的节点的公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1，这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。0、AVL和RBT红黑树0、AVL和红黑树对比两者都属于自平衡二叉树。两者查找,插入，删除的时间复杂度相同。1、AVL树—可理解为BBTAVL树查找的时间复杂度为O(logN)，因为树一定是平衡的。但是由于插入或删除一个节点时需要扫描两趟树，依次向下查找插入点，依次向上平衡树，AVL树不如红黑树效率高，也不如红黑树常用。AVL树是平衡二叉搜索树的鼻祖：AVL树是最先发明的自平衡二叉查 找树。AVL树有两个性质它或者是一颗空二叉树，或者是具有下列性质的二叉树：(1)、其根的左右子树，高度之差的绝对值不能超过1；(2)、其根的左右子树，都是二叉平衡树。AVL应用1、Windows NT内核中广泛存在。2、红黑树
红黑树的平衡是在插入和删除的过程中取得的。对一个要插入的数据项，插入程序要检查不会破坏树一定的特征。如果破坏了，程序就会进行纠正，根据需要更改树的结构。通过维持树的特征，保持了树的平衡。红黑树 并不追求“完全平衡 ”：它只要求部分地达到平衡要求，降低了对旋转的要求，从而提高了性能。红黑树能够以 O(log2 n) 的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。任何不平衡都会在三次旋转之内解决。红黑树有两个特征 1、节点都有颜色2、在插入和删除过程中，要遵循保持这些颜色的不同排列的规则。红黑规则1、每一个节点不是红色的就是黑色的。2、根总是黑色的3、如果节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的（反之不一定成立）。4、从根到叶节点或空子节点的每条路径，必须包含相同数目的黑色节点。（空子节点是指非叶节点可以接子节点的位置。换句话说，就是一个有右子节点的节点可能接左子节点的位置，或是有左子节点的节点可能接右子节点的位置）红黑树的应用1、广泛用于C++的STL中,map和set都是用红黑树实现的。(1)、JDK的TreeMap是一个红黑树的实现，能保证插入的值保证排序。2、IO多路复用epoll的实现采用红黑树组织管理sockfd，以支持快速的增删改查。1、BBT的旋转高度不平衡节点的两颗子树的高度差2，只考虑该不平衡节点本身，分四种情况分别讨论。(1)、四种分类：左左、左右、右左、右右；(2)、四种旋转：对称与旋转，左左和右右对称；左右和右左对称左左和右右两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，称之为单旋转。左右和右左两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，称之为双旋转。a、高度不平衡之左左6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。
b、高度不平衡之左右6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。
c、高度不平衡之右左2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。
d、高度不平衡4之右右2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。
(1)、BBT的左左—单旋转如图，假设K2不平衡：为使树恢复平衡，把K1变成根节点。K2大于K1，所以，把K2置于K1的右子树上。K1右子树Y大于K1，小于K2，所以，把Y置于k2的左子树上。左旋：就是让左边的孩子K1去提到上边，升级作为爸爸，自己K2变成儿子。
(2)、BBT的左右双旋转对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。以左右为例：节点K3不满足平衡特性，它的左子树K1比右子树D深2层，且K1子树更深的是右子树K2。
2、BBT的插入BBT插入的方法和BST基本一致。区别是，插入完成后需要从插入的节点开始，维护一个到根节点的路径，每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。3、BBT的查找BBT查找的方法和BST完全一样。不过根据高度基本平衡存储的特性，BBT能保持O(logN)的稳定时间复杂度，而BST则相当不稳定。4、BBT的删除BBT删除的方法和BST基本一致。区别是，删除完成后，需要从删除节点的父亲开始，向上维护树的平衡一直到根节点。4、堆5、哈夫曼树HT/最优二叉树二、多路查找树：多叉树——二叉到多叉的思考1、多叉树一个节点存一个值，则有2个孩子：W一个节点存两个值，则有3个孩子：MO一个节点存三个值，则有4个孩子：MO
1、多叉树的查找与插入
2、B树及其变种——分裂节点、合并节点1、B树的定义——m阶B树需要满足的条件(1)、每个结点至多有m个孩子；(2)、除根结点外，其他结点至少有m/2个孩子；(3)、根结点至少有2个孩子；(4)、所有叶结点在同一层；(5)、有α个孩子的非叶结点有α-1个关键字；结点内部，关键字递增排列。
2、B树的变种
3、R树—R树在实践中的应用
树相关算法的代码实现1、二叉树的遍历——前中后、通过前中求后(1)、前序遍
(2)、中序遍历
(3)、后序遍历
(4)、T2、通过前序中序求后序
2、二叉查找树、BST的插入节点、BST的删除
(2)、二叉查找树插入节点
(3)、二叉查找树BST的删除
3、BBT单旋转、双旋转、BBT的插入、BBT的删除(1)、左左单旋转
(2)、双旋转
(3)、平衡二叉树的插入
(4)、平衡二叉树的删除