No.203 这样讲电容器储能公式,连隔壁小孩都懂了!

在No.202中,我们提到了电容器的储能公式  。虽然该公式在高考中并不要求,但其所应用的物理思想和方法,却并未超出高考范围!
恰好也有朋友后台留言提到这个公式。今天这期,我们就来简单看看此公式的推导。
没错,今天我们依然用类比的方法,认识平行板电容器的储能公式。今天类比的是弹簧的弹性势能
从原理角度类比

无论是弹簧弹力,还是静电场力,均为保守力,均有相应的势能与其对应,也均满足功能关系  即克服多少保守力做功,则增加多少相应的势能。
弹簧伸长或者压缩,均在克服弹簧弹力做功,弹性势能增大;同理,若搬运电荷的过程中,克服静电场力的作用,则相应的电势能增加。
对应上图的平行板电容器,在未充电前,两极板均不带电。我们可以把充电过程看做,将下极板上的  不断得搬运到上极板,而不断消耗电源电能的过程。
随着过程的进行,在两极板间形成如图电场,阻碍电荷的继续搬运,此时搬运电荷要克服静电场力做功。从而完成了能量的转化过程。
从做功角度类比

弹簧随着长度的伸长或者压缩,由胡克定律  易得,弹力的做功为变力做功。
而电容器在极板搬运电荷的过程中,随着两极板上电荷的不断积累,内部场强逐渐增大, 每次搬运  所克服的静电场力也增大。所以静电场力做功也是变力做功。
以弹簧弹力做功为例,我们可以先对某一小段的元功进行研究。假设某时刻,弹簧的形变量为  ,形变量即将改变  。则这段过程内,弹力所做的元功为:
其中弹力是关于形变量  的函数。
同理,对于变化的静电力做功,我们也可以先研究元功的表达式。假设某时刻,极板的带电量为  ,此时板间电压与带电量满足关系 : 其中,电压是关于  的函数。则元功可以表示为: 若弹簧的形变量从0增加到  ,则此过程中克服弹力做功为:  同理,电容器带电量从0增加到  ,此过程中克服静电力做功为:  所以,如果取弹簧原长时,弹性势能为0,易得弹簧弹性势能的表达式为:  其中  为弹簧的形变量。
同理可得,电容器的储能公式为:  又由  ,还经常可以把上式写为:
从运算角度类比

从上面弹簧元功和静电力元功的表达式,我们可以看到其表达式的形式是一样的,一些物理量之间有如下对应关系:
由此,我们一进步体会到了,通过类比的方法,“方程一样,则解一样的原则”。在已知弹簧弹性势能表达式的前提下,可以直接类比写出电容器储能公式。
当然,对于线性变力做功问题,我们还可以使用示功图的方法进行相关求解,对于弹簧:
所围蓝色三角形面积即为做功,也为弹性势能的大小。
同理,对于电容器:
所围红色三角形面积即为做功,也为电容器储存能量大小。
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