伸缩变换：妙解圆锥曲线题
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里德公理几何体系”的重要组成部分。对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。这就是解析几何（坐标几何）。解析几何，高考永恒的重点、难点。圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。
坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。其实，如果单纯只是运算的“量大”还是可以通过高强度的训练得到有效改善。但对于一些题目，即便是计算能力非常出色的学生也需要消耗大量的时间，甚至反复多次才能得解。这是由于“算理不明”所致，如果学生选择的计算策略不合理，就会走入死胡同，将运算变成了硬解，即便耗费大量努力，最终还是无法得解。可令人烦恼的，许多二次曲线中的计算涉及“算理”问题，然而，对于明晰“算理”的培养，绝不是一朝一夕所能够完成的小工程，那需要绝对大量的经验积累和一定程度的数学天赋。显然，仅凭高中教学来解决这个问题是不现实的。
为应对高考圆锥曲线计算难的问题，笔者试图在解析几何的相关领域寻找一种较为普适的方法，从而系统地解决一类问题。于是发现，利用平面伸缩变换是不错的处理方法。
方法对照：
显然，方法1计算复杂，对“算理”的要求不好拿捏。必修四学习三角函数时我们曾接触伸缩变换，这里不妨试试。
不难发现，利用平面伸缩变换可以将椭圆“还原”成圆，这样就提高了它的“几何特征”，从而使问题变得更加清晰，执行起来也更加简便，有效地“回避”了繁杂的计算，从解题的结构来看，这无疑是一种优美的解法。
为了完善利用伸缩变换解题的结构体系，下面从平面伸缩变换的定义，性质，适用条件，意义以及例题这五个方面逐步建立这一体系。
区别于平移变换这一类刚体变换，伸缩变换会改变几何图形的形状，但其仍然属于二维平面上的仿射变换，是线性变换（运用一次函数进行的变换）的一种[5]，有如下性质：
性质1（保留结合性）：曲线与曲线上任意一点，经伸缩变换后，该点仍在对应的曲线上。
性质2（保留平直性）：经伸缩变换后，曲线仍是曲线，直线仍是直线，且相互之间的位置关系保持不变。
性质3（保留平行性）：若取平面内一线段与线段上的任一定比分点，经伸缩变换后，该点仍为相应线段的定比分点，且比例不变。
注：没有学过向量外积几何意义的学生也可以用微积分的思想（积分的几何意义）理解性质5（以椭圆为例）：
伸缩变换是在二维平面上的线性变换，只保留图形的部分性质。因此，伸缩变换只能解决圆锥曲线中的线性问题，如：曲线（曲线与直线）间的位置关系、平行线段长度的比例关系、斜率问题、面积问题等；而对于非线性问题（如：向量内积）则无法使用此方法。
在解决椭圆中的线性问题时，利用伸缩变换，能够将椭圆转化为圆，从而“还原”其“几何特征”。由于圆具有较多的几何性质以及高度的对称性，利用这种方法往往能够使题目得到理想的简化，以至于大部分问题可以直接在圆中利用几何方法得解，最后经由逆变换将结论回归到原坐标平面上，这样一来就有效地“回避”了繁琐的计算[3]。
例1.（2017天津南开三模）
例2.（2017天津五校联考）
例3.（2017天津河北三模）
例4.（2017天津一中四月考）
例5.（2015十二区县二模）
以上五道例题，均是天津近三年模拟的椭圆试题。我们通过对这些试题解法的改进，足以见得，利用伸缩变换将椭圆“还原”成圆的方法优美、明晰，百试不厌。当然，伸缩变换主要应用于解决椭圆中的线性问题，不过，放在其他圆锥曲线中，伸缩变换则是可以通过变化曲线焦点的位置，从而使原本不在焦点上的点或者是不通过焦点的直线“归位”，使其与焦点“结合”，之后，就可以借助圆锥曲线的定义大大降低题目难度，这本质上也达到了提高其“几何特征”的目的。（下面以抛物线为例）
例6[1].
由例6.我们深刻发现，利用伸缩变换“转化”的根本目的在于有效地“还原”图形的“几何特征”，从而“回归”到利用几何知识解诀问题的层面，这样自然就“回避”了计算的困扰。 可见伸缩变换其实是“工具”，借以帮助我们将问题“转化”成为我们熟悉一些经典模型。下面是个二元函数求最值的问题，虽然三角代换是个很成熟的方法，但是利用伸缩变换解决这个问题仍然显得灵活、雅致。
例7.