《必修一》中的数学思想
目录
第一讲 函数与方程思想(一)..................................................................................................................... - 1 -
题型一:函数观点看不等式...................................................................................................................... - 2 -
题型二:识别变量和参数.......................................................................................................................... - 3 -
题型三:多变量求最值.............................................................................................................................. - 4 -
题型四:函数性质比大小.......................................................................................................................... - 5 -
第二讲 函数与方程思想(二)..................................................................................................................... - 8 -
题型一:复合函数进阶.............................................................................................................................. - 8 -
题型二:根据对称求解析式...................................................................................................................... - 9 -
题型三:构造新函数或方程...................................................................................................................... - 9 -
第三讲 抽象函数问题..................................................................................................................................... - 12 -
题型一:抽象函数判断单调性............................................................................................................... - 12 -
题型二:抽象函数判断奇偶性............................................................................................................... - 13 -
题型三:抽象函数解不等式................................................................................................................... - 13 -
第四讲 图像——数形结合与极限思想........................................................................................................ - 15 -
题型一:奇函数对称拓展....................................................................................................................... - 15 -
题型二:零点(根)的分布问题........................................................................................................... - 15 -
题型三:零点个数问题........................................................................................................................... - 16 -
题型四:极限思想找图像....................................................................................................................... - 18 -
第五节——整体换元思想................................................................................................................................ - 20 -
第六节——分类讨论思想情形归纳................................................................................................................ - 23 -
题型一:集合型....................................................................................................................................... - 23 -
题型二:二次函数型............................................................................................................................... - 24 -
题型三:指对函数型............................................................................................................................... - 27 -
第七节——多变量求参数................................................................................................................................ - 28 -
题型一:单变量双函数........................................................................................................................... - 28 -
题型二:双变量双函数........................................................................................................................... - 28 -
第八节——分式应用........................................................................................................................................ - 31 -
题型一:分式求最值............................................................................................................................... - 31 -
题型二:怎么处理分式........................................................................................................................... - 32 -
第九节——绝对值............................................................................................................................................ - 34 -
题型一:翻折——去左变偶................................................................................................................... - 34 -
题型二:翻折——下翻上....................................................................................................................... - 35 -
题型三:分类讨论................................................................................................................................... - 36 -
第十讲 计算能力培养..................................................................................................................................... - 38 -
题型一:指对计算................................................................................................................................... - 38 -
题型二:因式分解................................................................................................................................... - 38 -
题型三:比较大小................................................................................................................................... - 39 -
题型四:计算........................................................................................................................................... - 39 -
题型五:解方程组................................................................................................................................... - 40 -
题型六:三角函数................................................................................................................................... - 40 -
第一讲 函数与方程思想(一)
题型一:函数观点看不等式
例1.关于
的不等式
的解集是
,则关于
的不等式
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
练1-1. (2018-2019合肥一中六中期中6)若关于
的不等式
的解集为
,其中
为常数,则不等式
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
练1-2. 解下列不等式
;
.
题型二:识别变量和参数
例2.已知二次函数
,若
,
,则实数
的取值范围.
练2-1. (2018-2019合肥168期中15)若当
时,不等式
恒成立,则实数
的取值范围是_____________。
练2-2.(2018-2019合肥一六八期中6)已知集合
,对满足集合
的所有实数
,使不等式
成立的
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
题型三:多变量求最值
例3.(2020合肥8中期中8)已知
,且
,则
的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
练3-1. 已知
,求
最大值和最小值.
练3-2.
,
,求
的最小值
练3-3. 函数
,若互不相等的实数
满足
,则
的取值范围是____________。
题型四:函数性质比大小
例4. 已知定义域为
的函数
在
上单调递减,函数
是偶函数,若
,
,
,
为自然对数的底数,则
的大小关系是___________.
练4. 已知函数
关于
对称,且当
时,
,则( )
A.
B.
C.
D.
家庭作业
1.已知,
,
,
,
①
为真命题,
的取值范围;
②
和
至少有一个真命题,
和
至少有一个假命题,则
的取值范围。
2.
,求
的最小值
3.已知函数
,若
,且
,则
的取值范围是____________.
第二讲 函数与方程思想(二)
题型一:复合函数进阶
例1-1. (2017-2018年合肥一中期末第19题 第2问)
函数
.若函数
的最小值为
,求
的值.
练1-1. 若函数
的值域是
,那么它的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
例1-2.已知函数
,则函数
的零点个数可能为___________个.
练1-2.已知函数
,
,则方程
为正实数)的根的个数可能为____________个.
题型二:根据对称求解析式
例2. 设函数
的图像关于直线
对称,若当
时,
,则当
时,
练2. 已知
为
上偶函数,当
时,
,则当
时,求函数
的解析式.
题型三:构造新函数或方程
例3-1. 定义在
上的函数
满足
,若
,则不等式
的解集为___________.
练3-1.已知函数
,在
上满足
,求参数
的取值范围.
例3-2. 函数
满足:①在定义域
内为单调函数,②存在
使得
在
上的值域为
,求
的取值范围.
练3-2. 已知函数
,若函数
的定义域、值域都为
,且
在
上单调,求实数
的取值范围。
家庭作业
1.已知函数
在
上单调递增,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知函数
,存在区间
,使
在区间
上的值域为
,则实数
的取值范围为_____________。
3.已知函数
,
,若函数
恰有两个不同的零点,则实数
的取值范围为__________.
第三讲 抽象函数问题
题型一:抽象函数判断单调性
例1-1.
,有
,当
时,
,判断
的单调性.
练1-1.
,有
,当
时,
,判断
的单调性.
例1-2.
,有
,当
时,
,判断
在
的单调性.
练1-2.
,满足
,当
时,
,判断
的单调性
题型二:抽象函数判断奇偶性
例2.
定义域为
,
有
,证
为奇函数.
练2.
为定义域在
上不恒为0的函数,且
,都有
,判断
的奇偶性.
题型三:抽象函数解不等式
例3-1. 定义在非零实数集上的函数
对任意非零实数
,
满足:
,且当
时,
,解不等式:
.
练3-1. 定义域在
上单调函数
满足
,且
,则
,都有
,求实数
的取值范围.
例3-2. 已知函数
的定义域为
,对定义域内任意的
都有
,当
时,
且
,解不等式:
练3-2. (2020合肥八中期中22题)
已知定义在
上的函数
,满足
,且当
时,有
,若
,解不等式
.
例3-3. 已知函数
是定义在
上的偶函数,且在
,
上单调递减,
,则不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
练3-3. 已知函数
是定义在
上的偶函数,且在
上单调递减,
,则不等式
的解集为( )
A.
,
B.
C.
,
D.
第四讲 图像——数形结合与极限思想
题型一:奇函数对称拓展
例1.已知函数
,函数
的最大值、最小值分别为
,
,则
__________.
练1-1. 已知函数
,
,函数
的最大值、最小值分别为
,
,则
_________.
练1-2. (2020合肥五中期中15题)已知函数
为定义在
上的函数,且满足
,若
,求
在
上的最大值与最小值之和___________.
题型二:零点(根)的分布问题
例2. 若函数
的一个零点在区间
上,另一个零点在区间
上,则实数
的取值范围为________.
练2-1. 已知关于
的二次方程
,若方程有两根,其中一根在区间
内,另一根在区间
内,
的范围是_________.
练2-2. 已知函数
,
,
(1)若
在区间
有零点,求
的取值范围;
(2)若关于
的方程
有两个大于1的不同的实根,求
取值范围.
题型三:零点个数问题
例3-1. 函数
的零点个数为___________.
练3-1.函数
的零点个数为___________.
例3-2. 已知函数
,若关于
的函数
有两个不同的零点,则实数
的取值范围是______________.
练3-2. 已知函数
,若方程
恰有两个不同的根,则实数
的取值范围是________.
例3-3. (2020合肥五中期中17题)
已知
是定义域为
的奇函数,当
,
时,
.
(1)写出函数
的解析式;
(2)若方程
恰有3个不同的解,求
的取值范围.
练3-3. (2019合肥168期末20)
已知函数
,在一个周期内的图象如下图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)设
,且方程
有两个不同的实数根,求实数
的取值范围和这两个根的和.
题型四:极限思想找图像
例4-1. 函数
的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
练4-1. 函数
的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
练4-2. 函数
的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
练4-2. 函数
的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
第五节——整体换元思想
例1. (2017-2018合肥六中段一第5题)
已知函数
,则
______________.
练1. (2017-2018合肥七中段一第15题)
若函数
满足
,则
的最小值为_______________
例2. 已知
,
,则函数
的最大值为_____________.
练2. 已知函数
,
,设
,若
的图象恒在
轴上方,求
的范围.
例3. (2018-2019合肥九中段二第12题)
若
,则函数
的( )
A.最小值为0,无最大值 B.最小为0,最大值为6
C.最小值为
,无最大值 D.最小值为
,最大值为6
练3. (2019-2020合肥168诺贝尔班期末10题)
已知函数
,
的值域为
,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
例4. (2019-2020合肥6中期末15)
若
,
,
,
,则
___________.
练4. 已知
,
,且
,求
的值.
例5.设函数
.
(1)若
是偶函数,求
的值;
(2)若存在
,
,使得
成立,求实数
的取值范围;
练5. (2019-2020合肥168诺贝尔班20题)
设函数
是定义域为
的奇函数.
(1)求
的值;
(2)若
,求使不等式
恒成立的
的取值范围;
(3)若
,
且
在
上的最小值为
,求
的值.
第六节——分类讨论思想情形归纳
分类讨论是因为参数的不确定性,我们需要把参数所有的可能性全部列举出来,并对每个可能性进行分析,其实就是把题目化整为零,各个击破,最后再整和结论。
情形1:不确定集合
是否是空集要对集合
分空集和非空集两种情况讨论;
情形2:一次函数
的斜率正负不确定要分类讨论;
情形3:分段函数求值不确定
在哪一段要分类讨论;
情形4:等式(方程,不等式)两边同时除以一个数
时,不确定
的大小,要分
讨论;
情形5:不确定
是不是一元二次方程,不等式,函数 要分
讨论,函数还要分
;
情形6:二次函数
的对称轴
与区间
的位置关系不确定,一般要 分
三种情况讨论;
情形7:
的根或零点与区间位置关系不确定时需要分类
情形8:指数函数(
)和对数函数(
)的底数
大小不确定要分
讨论;
情形9:去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性需要分来讨论;
情形10:复合函数由于有参数导致单调性不能确定需要分类讨论;
情形11:函数
在区间上单调时一般要分单增还是单减。
…………………………
题型一:集合型
例1. (2020-2021合肥五中期中17题)设集合
,
.
(1)若
,求实数
的取值范围;
(2)若
,求实数
的取值范围.
练1. (2020-2021合肥七中期中18题)已知集合
,
(1)若
,求
的取值范围;
(2)若
是
成立的充分不必要条件,求
的取值范围.
题型二:二次函数型
例2-1. 解关于
的不等式:
练2-1. 解关于
的不等式:
例2-2. (2017-2018合肥十中段一第20题)
已知函数
(
是常数)在区间
上的最大值是
(1)求
的表达式;
(2)求关于
的函数
的最值.
练2-2. (2018-2019年合肥一、七中段一第19题)
已知函数
在区间
,
上有最小值,记作
(1)求
的表达式
(2)作出
的图象并根据图象求出
的最大值.
例2-3. (2017-2018合肥六中段一第9题)
如果函数
在区间
上是单调递增的,则实数
的取值范围是( )A.
B.
C.
D.
练2-3. (2018-2019年合肥九中段一第14题)
函数
在区间
上递减,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型三:指对函数型
例3-1. 已知
且
,讨论
的单调性.
练3-1. (2019-2020合肥168诺贝尔班期末8)
已知函数
在
上是增函数,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
例3-2. 设
,函数
在
的最大值是14,求
的值
练3-2. 已知函数
(1)求解关于
的不等式
;
(2)若
恒成立,求实数
的取值范围.
第七节——多变量求参数
题型一:单变量双函数
例1.设函数
(1)若对任意的
,使得
成立,求实数
的取值范围.
(2)若存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
练1. 已知
,
,若
时,恒有
成立,求
的最大值.
题型二:双变量双函数
例2-1. 已知函数
和函数
,若
,
,使得
成立,求
的取值范围_____________.
练2-1. 已知函数
,
,
为实数,对任意的
,总存在
,有
成立,求实数
的取值范围.
例2-2. (2018-2019年合肥六中段一第12题)
已知奇函数
在
上单调递增,且
,若
对所有的
,当
时都成立,则实数
的取值范围是____________.
练2-2. (2018-2019年合肥一中段一第22题)
已知
为定义在
的奇函数,且
,任意
,
时,有
,任意的
,存在
使得
成立,求
取值范围.
例2-3. (2020合肥8中期中16)已知函数
,若
,使得
成立,则实数
的取值范围是 .
练2-3. (2020合肥7中期中16)已知函数
,
,若对任意
,360docimg_501_,总存在360docimg_502_,360docimg_503_,使360docimg_504_成立,则实数360docimg_505_的取值范围为 .
第八节——分式应用
题型一:分式求最值
例1-1.360docimg_506_ 练1-1. 360docimg_507_
例1-2. 360docimg_508_ 360docimg_509_
练1-2. 360docimg_510_ 360docimg_511_
例1-3. 360docimg_512_. 练1-3. 360docimg_513_
题型二:怎么处理分式
例2-1. 设360docimg_514_,且360docimg_515_为常数,当360docimg_516_时,函数360docimg_517_的最小值是_________________.
练2-1. 已知函数360docimg_518_(360docimg_519_为实数),360docimg_520_,当360docimg_521_时,求函数360docimg_522_在360docimg_523_上的最小值
例2-2. 函数360docimg_524_,若360docimg_525_,则360docimg_526___________________.
练2-2. 函数360docimg_527_,360docimg_528_,若360docimg_529_,求360docimg_530______________.
例2-3. 已知定义域为360docimg_531_的函数360docimg_532_是奇函数,对任意的360docimg_533_,不等式360docimg_534_恒成立,求360docimg_535_的取值范围_______________.
练2-3. 已知360docimg_536_是定义在360docimg_537_上的奇函数.
(1)求360docimg_538_的值;
(2)若360docimg_539_,求实数360docimg_540_的取值范围.
例2-4. (2020-2021六中期中21题)
已知函数360docimg_541_
(1)求360docimg_542_的值;
(2)当360docimg_543_的定义域是360docimg_544_时,求函数360docimg_545_的值域.
练2-4. 已知函数360docimg_546_
(1)若函数360docimg_547_为奇函数,求360docimg_548_的值,并求此时函数360docimg_549_的值域;
(2)若存在360docimg_550_,使360docimg_551_,求实数360docimg_552_的取值范围.
第九节——绝对值
题型一:翻折——去左变偶
例1-1.(2018-2019合肥十中期中第16题)
关于函数360docimg_553_,有下列命题:
①360docimg_554_的图象关于360docimg_555_轴对称;②360docimg_556_的最小值是2;③360docimg_557_在360docimg_558_上是减函数,在360docimg_559_上是增函数;④360docimg_560_没有最大值
其中正确命题的序号是__________________..
练1-1. (2018-2019合肥168期末第2题)
函数360docimg_561_是360docimg_562_ 360docimg_563_
A.最小正周期为360docimg_564_的奇函数 B.最小正周期为360docimg_565_的奇函数
C.最小正周期为360docimg_566_的偶函数 D.最小正周期为360docimg_567_的偶函数
例1-2. 设函数360docimg_568_,则使得360docimg_569_(1)成立的360docimg_570_的取值范围是( )
A.360docimg_571_ B.360docimg_572_,360docimg_573_,360docimg_574_ C.360docimg_575_ D.360docimg_576_,360docimg_577_,360docimg_578_
练1-2. (2019-2020合肥168期中10)
已知函数360docimg_579_,则( )
A. 360docimg_580_ B.360docimg_581_
C. 360docimg_582_ D.360docimg_583_
例1-3. 函数360docimg_584_的部分图像大致是( )
A.360docimg_585_B.360docimg_586_C.360docimg_587_D.360docimg_588_
练1-3. (2018-2019合肥168期末第9题)
函数360docimg_589_的部分图象大致是360docimg_590_ 360docimg_591_
A.360docimg_592_B.360docimg_593_C.360docimg_594_D.360docimg_595_
题型二:翻折——下翻上
例3-1. 已知函数360docimg_596_在360docimg_597_上的最大值为360docimg_598_,则360docimg_599_的取值范围是( )
A.360docimg_600_ B.360docimg_601_ C.360docimg_602_ D.360docimg_603_
练3-1. 已知函数360docimg_604_,求函数在360docimg_605_上的值域.
例3-2. 已知函数360docimg_606_,360docimg_607_,使得360docimg_608_,则实数360docimg_609_的最大值是_____________.
练3-2. 已知函数360docimg_610_,360docimg_611_,使得360docimg_612_,则实数360docimg_613_的最大值是_____________.
题型三:分类讨论
例3-1. 已知函数360docimg_614_,其中360docimg_615_.
(1)当360docimg_616_时,求不等式360docimg_617_的解集;
(2)若存在360docimg_618_,使得360docimg_619_,求实数360docimg_620_的取值范围.
练3-1. (2020-2021合肥庐阳期中22题)已知函数360docimg_621_
(1)当360docimg_622_时,求函数360docimg_623_的单调递增区间.
(2)当360docimg_624_时,360docimg_625_的最大值为360docimg_626_,求实数360docimg_627_的取值范围.
例3-2. 已知函数360docimg_628_.
(1)当360docimg_629_时,求不等式360docimg_630_的解集;
(2)若关于360docimg_631_的不等式360docimg_632_在360docimg_633_,360docimg_634_有解,求实数360docimg_635_的取值范围.
练3-2. 已知函数360docimg_636_,360docimg_637_.
(1)若360docimg_638_时,解不等式360docimg_639_;
(2)若关于360docimg_640_的不等式360docimg_641_在360docimg_642_,360docimg_643_上有解,求实数360docimg_644_的取值范围.
第十讲 计算能力培养
题型一:指对计算
(1)360docimg_645___________;
(2)360docimg_646___________;
(3)360docimg_647___________;
(4)360docimg_648___________;
(5)360docimg_649___________;
(6)360docimg_650___________;
(7)360docimg_651___________;
(8)360docimg_652___________;
题型二:因式分解
(1)360docimg_653___________;
(2)360docimg_654___________;
(3)360docimg_655___________;
(4)360docimg_656___________;
(5)360docimg_657___________;
(6)360docimg_658___________;
(7)360docimg_659___________;
(8)360docimg_660___________;
(9)360docimg_661___________;
(10)360docimg_662___________;
题型三:比较大小
(1)360docimg_663_
(2)360docimg_664_
(3)360docimg_665_
(4)360docimg_666_
(5)360docimg_667_
题型四:计算
(1)已知360docimg_668_,用360docimg_669_表示360docimg_670_
(2)已知360docimg_671_,求
①360docimg_672___________; ②360docimg_673___________;
③360docimg_674___________; ④360docimg_675___________;
(3)已知正实数360docimg_676_满足360docimg_677_
①求360docimg_678_的值
②比较360docimg_679_的大小
(4)函数360docimg_680_的图像关于点___________对称
题型五:解方程组
(1)360docimg_681_ (2)360docimg_682_
题型六:三角函数
(1)已知360docimg_683_,则360docimg_684_( )
A.360docimg_685_ B.360docimg_686_ C.360docimg_687_ D.360docimg_688_
(2)设360docimg_689_是以360docimg_690_为周期的奇函数,且360docimg_691_,若360docimg_692_,则360docimg_693_的值等于 .
(3)已知360docimg_694_,360docimg_695_,则360docimg_696_ 360docimg_697_
A.360docimg_698_ B.360docimg_699_ C.2 D.360docimg_700_
(4)已知函数360docimg_701_在360docimg_702_时取得最大值,则360docimg_703_ .
(5)已知360docimg_704_.求下列各式的值:
(1)360docimg_705_;
(2)360docimg_706_
(6)已知360docimg_707_,则360docimg_708_( )
A. 360docimg_709_ B.360docimg_710_ C.360docimg_711_ D.360docimg_712_
(7)已知360docimg_713_,则360docimg_714_的值是( )
A. 360docimg_715_ B.360docimg_716_ C.360docimg_717_ D.360docimg_718_
(8)已知360docimg_719_
求:(1)360docimg_720_的值;(2)360docimg_721_的值