《必修一》中的数学思想

目录

第一讲  函数与方程思想(一)..................................................................................................................... - 1 -

题型一:函数观点看不等式...................................................................................................................... - 2 -

题型二:识别变量和参数.......................................................................................................................... - 3 -

题型三:多变量求最值.............................................................................................................................. - 4 -

题型四:函数性质比大小.......................................................................................................................... - 5 -

第二讲   函数与方程思想(二)..................................................................................................................... - 8 -

题型一:复合函数进阶.............................................................................................................................. - 8 -

题型二:根据对称求解析式...................................................................................................................... - 9 -

题型三:构造新函数或方程...................................................................................................................... - 9 -

第三讲  抽象函数问题..................................................................................................................................... - 12 -

题型一:抽象函数判断单调性............................................................................................................... - 12 -

题型二:抽象函数判断奇偶性............................................................................................................... - 13 -

题型三:抽象函数解不等式................................................................................................................... - 13 -

第四讲  图像——数形结合与极限思想........................................................................................................ - 15 -

题型一:奇函数对称拓展....................................................................................................................... - 15 -

题型二:零点(根)的分布问题........................................................................................................... - 15 -

题型三:零点个数问题........................................................................................................................... - 16 -

题型四:极限思想找图像....................................................................................................................... - 18 -

第五节——整体换元思想................................................................................................................................ - 20 -

第六节——分类讨论思想情形归纳................................................................................................................ - 23 -

题型一:集合型....................................................................................................................................... - 23 -

题型二:二次函数型............................................................................................................................... - 24 -

题型三:指对函数型............................................................................................................................... - 27 -

第七节——多变量求参数................................................................................................................................ - 28 -

题型一:单变量双函数........................................................................................................................... - 28 -

题型二:双变量双函数........................................................................................................................... - 28 -

第八节——分式应用........................................................................................................................................ - 31 -

题型一:分式求最值............................................................................................................................... - 31 -

题型二:怎么处理分式........................................................................................................................... - 32 -

第九节——绝对值............................................................................................................................................ - 34 -

题型一:翻折——去左变偶................................................................................................................... - 34 -

题型二:翻折——下翻上....................................................................................................................... - 35 -

题型三:分类讨论................................................................................................................................... - 36 -

第十讲  计算能力培养..................................................................................................................................... - 38 -

题型一:指对计算................................................................................................................................... - 38 -

题型二:因式分解................................................................................................................................... - 38 -

题型三:比较大小................................................................................................................................... - 39 -

题型四:计算........................................................................................................................................... - 39 -

题型五:解方程组................................................................................................................................... - 40 -

题型六:三角函数................................................................................................................................... - 40 -

第一讲   函数与方程思想(一)

题型一:函数观点看不等式

例1.关于

的不等式

的解集是

,则关于

的不等式

的解集是(  )

A.

B.

C.

D.

练1-1. (2018-2019合肥一中六中期中6)若关于

的不等式

的解集为

,其中

为常数,则不等式

的解集是(    )

A.

B.

C.

D.

练1-2. 解下列不等式

.

题型二:识别变量和参数

例2.已知二次函数

,若

,则实数

的取值范围.

练2-1. (2018-2019合肥168期中15)若当

时,不等式

恒成立,则实数

的取值范围是_____________。

练2-2.(2018-2019合肥一六八期中6)已知集合

,对满足集合

的所有实数

,使不等式

成立的

的取值范围为(    )

A.

B.

C.

D.

题型三:多变量求最值

例3.(2020合肥8中期中8)已知

,且

,则

的最小值是(   )

A.

B.

C.

D.

练3-1. 已知

,求

最大值和最小值.

练3-2.

,求

的最小值

练3-3. 函数

,若互不相等的实数

满足

,则

的取值范围是____________。

题型四:函数性质比大小

例4. 已知定义域为

的函数

上单调递减,函数

是偶函数,若

为自然对数的底数,则

的大小关系是___________.

练4. 已知函数

关于

对称,且当

时,

,则(   )

A.

B.

C.

D.

家庭作业

1.已知,

为真命题,

的取值范围;

至少有一个真命题,

至少有一个假命题,则

的取值范围。

2.

,求

的最小值

3.已知函数

,若

,且

,则

的取值范围是____________.

第二讲   函数与方程思想(二)

题型一:复合函数进阶

例1-1. (2017-2018年合肥一中期末第19题 第2问)

函数

.若函数

的最小值为

,求

的值.

练1-1. 若函数

的值域是

,那么它的定义域是(  )

A.

B.

C.

D.

例1-2.已知函数

,则函数

的零点个数可能为___________个.

练1-2.已知函数

,则方程

为正实数)的根的个数可能为____________个.

题型二:根据对称求解析式

例2. 设函数

的图像关于直线

对称,若当

时,

,则当

时,

练2. 已知

上偶函数,当

时,

,则当

时,求函数

的解析式.

题型三:构造新函数或方程

例3-1. 定义在

上的函数

满足

,若

,则不等式

的解集为___________.

练3-1.已知函数

,在

上满足

,求参数

的取值范围.

例3-2. 函数

满足:①在定义域

内为单调函数,②存在

使得

上的值域为

,求

的取值范围.

练3-2. 已知函数

,若函数

的定义域、值域都为

,且

上单调,求实数

的取值范围。

家庭作业

1.已知函数

上单调递增,则

的取值范围是(  )

A.

B.

C.

D.

2.已知函数

,存在区间

,使

在区间

上的值域为

,则实数

的取值范围为_____________。

3.已知函数

,若函数

恰有两个不同的零点,则实数

的取值范围为__________.

第三讲  抽象函数问题

题型一:抽象函数判断单调性

例1-1.

,有

,当

时,

,判断

的单调性.

练1-1.

,有

,当

时,

,判断

的单调性.

例1-2.

,有

,当

时,

,判断

的单调性.

练1-2.

,满足

,当

时,

,判断

的单调性

题型二:抽象函数判断奇偶性

例2.

定义域为

,证

为奇函数.

练2.

为定义域在

上不恒为0的函数,且

,都有

,判断

的奇偶性.

题型三:抽象函数解不等式

例3-1. 定义在非零实数集上的函数

对任意非零实数

满足:

,且当

时,

,解不等式:

练3-1. 定义域在

上单调函数

满足

,且

,则

,都有

,求实数

的取值范围.

例3-2. 已知函数

的定义域为

,对定义域内任意的

都有

,当

时,

,解不等式:

练3-2. (2020合肥八中期中22题)

已知定义在

上的函数

,满足

,且当

时,有

,若

,解不等式

.

例3-3. 已知函数

是定义在

上的偶函数,且在

上单调递减,

,则不等式

的解集为(   )

A.

B.

C.

D.

练3-3. 已知函数

是定义在

上的偶函数,且在

上单调递减,

,则不等式

的解集为(    )

A.

B.

C.

D.

第四讲  图像——数形结合与极限思想

题型一:奇函数对称拓展

例1.已知函数

,函数

的最大值、最小值分别为

,则

__________.

练1-1. 已知函数

,函数

的最大值、最小值分别为

,则

_________.

练1-2. (2020合肥五中期中15题)已知函数

为定义在

上的函数,且满足

,若

,求

上的最大值与最小值之和___________.

题型二:零点(根)的分布问题

例2. 若函数

的一个零点在区间

上,另一个零点在区间

上,则实数

的取值范围为________.

练2-1. 已知关于

的二次方程

,若方程有两根,其中一根在区间

内,另一根在区间

内,

的范围是_________.

练2-2. 已知函数

(1)若

在区间

有零点,求

的取值范围;

(2)若关于

的方程

有两个大于1的不同的实根,求

取值范围.

题型三:零点个数问题

例3-1. 函数

的零点个数为___________.

练3-1.函数

的零点个数为___________.

例3-2. 已知函数

,若关于

的函数

有两个不同的零点,则实数

的取值范围是______________.

练3-2. 已知函数

,若方程

恰有两个不同的根,则实数

的取值范围是________.

例3-3. (2020合肥五中期中17题)

已知

是定义域为

的奇函数,当

时,

(1)写出函数

的解析式;

(2)若方程

恰有3个不同的解,求

的取值范围.

练3-3. (2019合肥168期末20)

已知函数

,在一个周期内的图象如下图所示.

(1)求函数的解析式;

(2)设

,且方程

有两个不同的实数根,求实数

的取值范围和这两个根的和.

题型四:极限思想找图像

例4-1. 函数

的图象大致是(  )

A.

B.

C.

D.

练4-1. 函数

的部分图象大致为(  )

A.

B.

C.

D.

练4-2. 函数

的图象大致为(  )

A.

B.

C.

D.

练4-2. 函数

的大致图象为(  )

A.

B.

C.

D.

第五节——整体换元思想

例1. (2017-2018合肥六中段一第5题)

已知函数

,则

______________.

练1. (2017-2018合肥七中段一第15题)

若函数

满足

,则

的最小值为_______________

例2. 已知

,则函数

的最大值为_____________.

练2. 已知函数

,设

,若

的图象恒在

轴上方,求

的范围.

例3. (2018-2019合肥九中段二第12题)

,则函数

的(   )

A.最小值为0,无最大值                      B.最小为0,最大值为6

C.最小值为

,无最大值                  D.最小值为

,最大值为6

练3. (2019-2020合肥168诺贝尔班期末10题)

已知函数

的值域为

,则实数

的取值范围是(    )

A.

B.

C.

D.

例4. (2019-2020合肥6中期末15)

,则

___________.

练4. 已知

,且

,求

的值.

例5.设函数

(1)若

是偶函数,求

的值;

(2)若存在

,使得

成立,求实数

的取值范围;

练5. (2019-2020合肥168诺贝尔班20题)

设函数

是定义域为

的奇函数.

(1)求

的值;

(2)若

,求使不等式

恒成立的

的取值范围;

(3)若

上的最小值为

,求

的值.

第六节——分类讨论思想情形归纳

分类讨论是因为参数的不确定性,我们需要把参数所有的可能性全部列举出来,并对每个可能性进行分析,其实就是把题目化整为零,各个击破,最后再整和结论。

情形1:不确定集合

是否是空集要对集合

分空集和非空集两种情况讨论;

情形2:一次函数

的斜率正负不确定要分类讨论;

情形3:分段函数求值不确定

在哪一段要分类讨论;

情形4:等式(方程,不等式)两边同时除以一个数

时,不确定

的大小,要分

讨论;

情形5:不确定

是不是一元二次方程,不等式,函数 要分

讨论,函数还要分

情形6:二次函数

的对称轴

与区间

的位置关系不确定,一般要  分

三种情况讨论;

情形7:

的根或零点与区间位置关系不确定时需要分类

情形8:指数函数(

)和对数函数(

)的底数

大小不确定要分

讨论;

情形9:去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性需要分来讨论;

情形10:复合函数由于有参数导致单调性不能确定需要分类讨论;

情形11:函数

在区间上单调时一般要分单增还是单减。

…………………………

题型一:集合型

例1. (2020-2021合肥五中期中17题)设集合

(1)若

,求实数

的取值范围;

(2)若

,求实数

的取值范围.

练1. (2020-2021合肥七中期中18题)已知集合

(1)若

,求

的取值范围;

(2)若

成立的充分不必要条件,求

的取值范围.

题型二:二次函数型

例2-1. 解关于

的不等式:

练2-1. 解关于

的不等式:

例2-2. (2017-2018合肥十中段一第20题)

已知函数

是常数)在区间

上的最大值是

(1)求

的表达式;

(2)求关于

的函数

的最值.

练2-2. (2018-2019年合肥一、七中段一第19题)

已知函数

在区间

上有最小值,记作

(1)求

的表达式

(2)作出

的图象并根据图象求出

的最大值.

例2-3. (2017-2018合肥六中段一第9题)

如果函数

在区间

上是单调递增的,则实数

的取值范围是(    )A.

B.

C.

D.

练2-3. (2018-2019年合肥九中段一第14题)

函数

在区间

上递减,则实数

的取值范围是(    )

A.

B.

C.

D.

题型三:指对函数型

例3-1. 已知

,讨论

的单调性.

练3-1. (2019-2020合肥168诺贝尔班期末8)

已知函数

上是增函数,则实数

的取值范围是(   )

A.

B.

C.

D.

例3-2. 设

,函数

的最大值是14,求

的值

练3-2. 已知函数

(1)求解关于

的不等式

(2)若

恒成立,求实数

的取值范围.

第七节——多变量求参数

题型一:单变量双函数

例1.设函数

(1)若对任意的

,使得

成立,求实数

的取值范围.

(2)若存在

,使得

成立,求实数

的取值范围.

练1. 已知

,若

时,恒有

成立,求

的最大值.

题型二:双变量双函数

例2-1. 已知函数

和函数

,若

,使得

成立,求

的取值范围_____________.

练2-1. 已知函数

为实数,对任意的

,总存在

,有

成立,求实数

的取值范围.

例2-2. (2018-2019年合肥六中段一第12题)

已知奇函数

上单调递增,且

,若

对所有的

,当

时都成立,则实数

的取值范围是____________.

练2-2. (2018-2019年合肥一中段一第22题)

已知

为定义在

的奇函数,且

,任意

时,有

,任意的

,存在

使得

成立,求

取值范围.

例2-3. (2020合肥8中期中16)已知函数

,若

,使得

成立,则实数

的取值范围是   .

练2-3. (2020合肥7中期中16)已知函数

,若对任意

,360docimg_501_,总存在360docimg_502_,360docimg_503_,使360docimg_504_成立,则实数360docimg_505_的取值范围为  .

第八节——分式应用

题型一:分式求最值

例1-1.360docimg_506_                                                    练1-1. 360docimg_507_

例1-2. 360docimg_508_                                           360docimg_509_

练1-2. 360docimg_510_                                             360docimg_511_

例1-3. 360docimg_512_.                                                    练1-3. 360docimg_513_

题型二:怎么处理分式

例2-1. 设360docimg_514_,且360docimg_515_为常数,当360docimg_516_时,函数360docimg_517_的最小值是_________________.

练2-1. 已知函数360docimg_518_(360docimg_519_为实数),360docimg_520_,当360docimg_521_时,求函数360docimg_522_在360docimg_523_上的最小值

例2-2. 函数360docimg_524_,若360docimg_525_,则360docimg_526___________________.

练2-2. 函数360docimg_527_,360docimg_528_,若360docimg_529_,求360docimg_530______________.

例2-3. 已知定义域为360docimg_531_的函数360docimg_532_是奇函数,对任意的360docimg_533_,不等式360docimg_534_恒成立,求360docimg_535_的取值范围_______________.

练2-3. 已知360docimg_536_是定义在360docimg_537_上的奇函数.

(1)求360docimg_538_的值;

(2)若360docimg_539_,求实数360docimg_540_的取值范围.

例2-4. (2020-2021六中期中21题)

已知函数360docimg_541_

(1)求360docimg_542_的值;

(2)当360docimg_543_的定义域是360docimg_544_时,求函数360docimg_545_的值域.

练2-4. 已知函数360docimg_546_

(1)若函数360docimg_547_为奇函数,求360docimg_548_的值,并求此时函数360docimg_549_的值域;

(2)若存在360docimg_550_,使360docimg_551_,求实数360docimg_552_的取值范围.

第九节——绝对值

题型一:翻折——去左变偶

例1-1.(2018-2019合肥十中期中第16题)

关于函数360docimg_553_,有下列命题:

①360docimg_554_的图象关于360docimg_555_轴对称;②360docimg_556_的最小值是2;③360docimg_557_在360docimg_558_上是减函数,在360docimg_559_上是增函数;④360docimg_560_没有最大值

其中正确命题的序号是__________________..

练1-1. (2018-2019合肥168期末第2题)

函数360docimg_561_是360docimg_562_   360docimg_563_

A.最小正周期为360docimg_564_的奇函数    B.最小正周期为360docimg_565_的奇函数

C.最小正周期为360docimg_566_的偶函数    D.最小正周期为360docimg_567_的偶函数

例1-2. 设函数360docimg_568_,则使得360docimg_569_(1)成立的360docimg_570_的取值范围是(    )

A.360docimg_571_      B.360docimg_572_,360docimg_573_,360docimg_574_    C.360docimg_575_       D.360docimg_576_,360docimg_577_,360docimg_578_

练1-2. (2019-2020合肥168期中10)

已知函数360docimg_579_,则(    )

A. 360docimg_580_                                      B.360docimg_581_

C. 360docimg_582_                                       D.360docimg_583_

例1-3. 函数360docimg_584_的部分图像大致是(    )

A.360docimg_585_B.360docimg_586_C.360docimg_587_D.360docimg_588_

练1-3. (2018-2019合肥168期末第9题)

函数360docimg_589_的部分图象大致是360docimg_590_   360docimg_591_

A.360docimg_592_B.360docimg_593_C.360docimg_594_D.360docimg_595_

题型二:翻折——下翻上

例3-1. 已知函数360docimg_596_在360docimg_597_上的最大值为360docimg_598_,则360docimg_599_的取值范围是(    )

A.360docimg_600_        B.360docimg_601_             C.360docimg_602_     D.360docimg_603_

练3-1. 已知函数360docimg_604_,求函数在360docimg_605_上的值域.

例3-2. 已知函数360docimg_606_,360docimg_607_,使得360docimg_608_,则实数360docimg_609_的最大值是_____________.

练3-2. 已知函数360docimg_610_,360docimg_611_,使得360docimg_612_,则实数360docimg_613_的最大值是_____________.

题型三:分类讨论

例3-1. 已知函数360docimg_614_,其中360docimg_615_.

(1)当360docimg_616_时,求不等式360docimg_617_的解集;

(2)若存在360docimg_618_,使得360docimg_619_,求实数360docimg_620_的取值范围.

练3-1. (2020-2021合肥庐阳期中22题)已知函数360docimg_621_

(1)当360docimg_622_时,求函数360docimg_623_的单调递增区间.

(2)当360docimg_624_时,360docimg_625_的最大值为360docimg_626_,求实数360docimg_627_的取值范围.

例3-2. 已知函数360docimg_628_.

(1)当360docimg_629_时,求不等式360docimg_630_的解集;

(2)若关于360docimg_631_的不等式360docimg_632_在360docimg_633_,360docimg_634_有解,求实数360docimg_635_的取值范围.

练3-2. 已知函数360docimg_636_,360docimg_637_.

(1)若360docimg_638_时,解不等式360docimg_639_;

(2)若关于360docimg_640_的不等式360docimg_641_在360docimg_642_,360docimg_643_上有解,求实数360docimg_644_的取值范围.

第十讲  计算能力培养

题型一:指对计算

(1)360docimg_645___________;

(2)360docimg_646___________;

(3)360docimg_647___________;

(4)360docimg_648___________;

(5)360docimg_649___________;

(6)360docimg_650___________;

(7)360docimg_651___________;

(8)360docimg_652___________;

题型二:因式分解

(1)360docimg_653___________;

(2)360docimg_654___________;

(3)360docimg_655___________;

(4)360docimg_656___________;

(5)360docimg_657___________;

(6)360docimg_658___________;

(7)360docimg_659___________;

(8)360docimg_660___________;

(9)360docimg_661___________;

(10)360docimg_662___________;

题型三:比较大小

(1)360docimg_663_

(2)360docimg_664_

(3)360docimg_665_

(4)360docimg_666_

(5)360docimg_667_

题型四:计算

(1)已知360docimg_668_,用360docimg_669_表示360docimg_670_

(2)已知360docimg_671_,求

①360docimg_672___________;                                         ②360docimg_673___________;

③360docimg_674___________;                                ④360docimg_675___________;

(3)已知正实数360docimg_676_满足360docimg_677_

①求360docimg_678_的值

②比较360docimg_679_的大小

(4)函数360docimg_680_的图像关于点___________对称

题型五:解方程组

(1)360docimg_681_                                                (2)360docimg_682_

题型六:三角函数

(1)已知360docimg_683_,则360docimg_684_(    )

A.360docimg_685_                          B.360docimg_686_                        C.360docimg_687_                       D.360docimg_688_

(2)设360docimg_689_是以360docimg_690_为周期的奇函数,且360docimg_691_,若360docimg_692_,则360docimg_693_的值等于   .

(3)已知360docimg_694_,360docimg_695_,则360docimg_696_  360docimg_697_

A.360docimg_698_                        B.360docimg_699_                        C.2                           D.360docimg_700_

(4)已知函数360docimg_701_在360docimg_702_时取得最大值,则360docimg_703_  .

(5)已知360docimg_704_.求下列各式的值:
(1)360docimg_705_;
(2)360docimg_706_

(6)已知360docimg_707_,则360docimg_708_(    )

A. 360docimg_709_                   B.360docimg_710_                   C.360docimg_711_                   D.360docimg_712_

(7)已知360docimg_713_,则360docimg_714_的值是(    )

A. 360docimg_715_               B.360docimg_716_                     C.360docimg_717_                     D.360docimg_718_

(8)已知360docimg_719_

求:(1)360docimg_720_的值;(2)360docimg_721_的值

(0)

相关推荐