关于模态分析的一些问题（一）
一个单自由度受迫振动的基本模型、受力情况以及振动方程如图示（单自由度：仅竖直方向的平动自由度）
上述微分方程的通解分为两部分：有阻尼自由振动方程的通解+有阻尼受迫振动的特解。小阻尼自由振动，其方程的通解为：
正弦曲线的幅值受到随时间衰减的指数函数控制，因此随着时间逐步发展，其振幅逐渐减小，直至最终自由振动消失（没有明显的自由振动，毕竟指数函数无限接近水平轴，但是却又不是水平轴，所以理论上振幅还是存在），该函数的曲效如下图所示：
小阻尼受迫振动，其方程的特解为：
小阻尼受简谐振动微分方程的特解还是一个谐函数，且该谐函数的频率与激振频率一致，振幅、相位取决于系统自身的固有属性和激励幅值。让人比较好奇的是，大多数分析说的是激励，而谐响应，细品，居然说的是响应。激励与响应具有同样的特性，都是谐函数。
方程耦合
这是一个二自由度系统，其振动微分方程如下所示：
将上述微分方程写成矩阵的形式，得到如下：
上面的矩阵，除了质量矩阵外，刚度与阻尼矩阵都不是对角矩阵。而在实际的多自由度系统中，质量、刚度、阻尼通常都不是对角矩阵。为什么要提到对角矩阵呢？由线性代数计算可知，非对角矩阵展开的方程组都是联立在一起的，必须联立才能求解；而对角矩阵展开以后都是一行对应一个方程，每个方程组可以单独求解，显然对角矩阵对于求解要方便得多。这种非对角的形式即称为耦合，耦合并不好，不利于计算。
方程解耦
要使得矩阵对角，就需要刚度矩阵的左下与右上元素为零，显示不存在这样的条件，因此上述问题使关于刚度的耦合。改用坐标表达：
观察质量矩阵和刚度矩阵，已经是对角矩阵了，在对角矩阵的情况下，显然求解更容易的。在阻尼里面有一个Rayleigh模型，其并不具有实际物理意义，仅仅是为了计算方便，而这个方便即是阻尼矩阵对角化，你要是提出一个更容易对角化的阻尼表示方法也是可以的，完全可以盖过这位前辈，还没听说有更好的办法。
模态叠加
利用阵型变换上述方程：
。矩阵能不能对角化，以及如何对角化，这个是线性代数的内容，所以要研究三个矩阵是否满足这些条件。如果展开细讲，就涉及到了矩阵的正定判别，矩阵正交化、单位化，而巧就巧在三个矩阵通常都是正定矩阵或者半正定矩阵，且向量之间满足正交性，是不是挺嗨的
。至于更详细一点的内容，在往后找其它问题的答案再一并叙述。
正则化：
正则化以后的方程进行展开：
估计是最后这一茬。在一个实际的系统当中（对于一个连续体）是由无数个自由度的，就算是有限元求解经过了有限的离散，自由度有时候也并不少。按照上面的过程，如果要得到一个精确解（抛开各种假设以及有限元近似等问题，仅考虑上述方程组），是需要计算所有的自由度的，这意味着沃恩需要计算所有的模态振型才可以。实际情况下并不需要如此，仅需要一部分，可是为什么这样就可以呢？有时候为了在减少计算量的情况下不过分削弱模态截断的误差，软件也会提供许多的手段。
需要注意的是，在经过模态变换以后，方程的量都处在模态坐标下。因此，矩阵方程都变成模态坐标的表示方法，包括等式右侧的载荷。在一些地方称之为模态载荷，是实际载荷在模态空间上的投影。上面说到的模态截断指的是，由于我们只是使用一部分模态进行叠加，因此总会有一个选择范围截至位置，称之为截断。
为什么计算应力应变需要更多的模态？
结构计算的基础是位移，上述动力学方程中的{x}，谐响应分析的响应（位移）是谐函数，应变也是谐函数。要获得相对精确的应力应变，必须需要获得正相对精确的位移函数。为了获得不错的位移精度，对模态的数量是有一定的要求，也就是数量相对合适的模态振型才能叠加出相对精确的谐响应位移函数。
根据学习之初关于应力应变与位移的关系可知，如果应力要足有的精度，则位移函数要足够精确（形状函数）。位移函数描述的是结构的形态，这意味着位移函数会更复杂（多项式的阶数更高）。结构的形态的复杂度显然是不能仅由较少的几个低阶模态振型叠加出来，这是因为低阶振型通常较简单，而高阶振型相对复杂。要描述一个复杂的曲边区域，要么给与足够多的简单函数，要么给予足够复杂的基底函数，高阶模态相当于更复杂的基底函数。至于哪一阶占有多大的地位，这个在之前已经提到。下面简单看个例子，看看低阶与高阶模态振型的差别。
红色区域变形相对于蓝色更大，外圈固定的情况下得到上面的一些振型分布。
为什么有限的模态振型可表达动力学响应？
想必在特定的结构下或者特定材料或许存在，尽管尚未有资料提它。毕竟在材料力学里面学到泊松比以后，常识告诉我们它应该是个正数，而实际呢，是存在着泊松比为负的材料。what？医美已经颠覆了“五官”，现在复材来颠覆我们的“三观”（认知观、科学观、席位待定
）
对于小阻尼系统而言（书本上写的是阻尼比1%~10%），即图中最靠近红色线条对应的尖峰曲线。以共振作为区分界限，两侧曲线的平滑度显然是不同的，越往右侧，曲线越是贴近X轴，即幅值下降的越厉害。仔细观察曲线不难发现，在共振界限两侧相等距离同步往两侧排开，左侧显然是平滑一些。如果还是发现不了，观察X轴上的数据0.5和1.5对应的纵向轴数值，其余以此类推。
这是1、3、5、7、9模态对于位移的贡献
上图是1到3、1到5、1到7以及1到9阶模态的叠加弯矩的情况
降低激励频率之后叠加唯一的情况
降低激励频率之后叠加弯矩的情况。上图仅从感性角度加以认识，如果要辅以软件数据支撑，工作量不会太少。具体怎么样手动设置叠加可以看周老师的动力学，并且还需要学到谐响应阶段才有比较明显的意义。