蓝桥杯 买不到的数目
问题描述
小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。
输入格式
两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)
输出格式
一个正整数，表示最大不能买到的糖数
样例输入1
4 7
样例输出1
17
样例输入2
3 5
样例输出2
7
方法一：运用数论知识
对于互质的两个数p，q，px py 不能表示的最大数为pq-p-q.
证明：（借鉴自大神 看不懂的朋友可以搜百度理解）
先证:pq-p-q不能被px py表示.
假设pq-p-q可以被px py表示
那么 px py=pq-p-q -> q|x 1 p|y 1
很明显x 1>=q
p(x 1)>=pq 矛盾
所以pq-p-q不能被px py表示.
再证：大于pq-p-q的数一定可以用px qy表示(x>=0 y>=0)
(p-1)(q-1)=pq-p-q 1
对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)
gcd(p,q)=1
对于z<min{p,q}存在a,b使得ap bq=z
不妨设a>0>b,显然a>0
那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b p
那么有a1p b1q=z.
如果a1>q，可以继续以得到
Ap Bq=z,且0<|A|<q,0<|B|<p
pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p
对于n>pq-q-p
n=pq-q-p k*min{p,q} r
r<z<min{p,q}
那么取A,B
Ap Bq=r,且0<|A|<q,0<|B|<p
不妨设A>0
n=pq-q-p k*min{p,q} r
=(q-1)p-p k*min{p,q} Ap Bq
=(A-1)p (B q-1)p k*min{p,q}
其中(A-1),(B q-1)>=0
那么无论min{p,q}是p还是q，都有
对于n>pq-q-p,都可以表示成px qy
#include <iostream>
using namespace std;
int main(int argc, char *argv[]) {
int a,b;
cin >> a >> b;
cout << a*b-a-b;
return 0;
}
方法二就比较接地气了hhh：
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 50000
int c[N];
void check(int a,int b){
for(int i=0;i<=N/a;i ){ //去掉多余循环，下同；
for(int j=0;j<=(N-i*a)/b;j ){
if(i*a j*b < N) c[i*a j*b] = 1;
}
}
}
int count(int min){
int time = 0;
for(int i=0;i<=N;i ){
if(c[i] == 1) time ;
else time = 0;
//连续a个或者b个数(min取自ab)都可被表示出，则后面的数都能表示了,例如3和5两个数， 8，9，10连续3个数都可被表示，则后面的数就都能表示了，最大值就是10-min = 7；
if(time == min) return i - time;
}
return -1;
}
int main(int argc, char *argv[]) {
int a,b;
cin >> a >> b;
int min;
a < b ? min=a : min=b;//选择小值传入
check(a,b);
cout << count(min);
return 0;
}