质数：素数定理（1）
素数的重要性在于这一事实:每一个整数都能表示为素数的乘积.如果一个数本身不是素数,那么可以不断对它进行因子分解,直到所有的因子都是素数为止。——R·柯朗
2021
03.14
作者序言
小贺
当我做素数这个系列的时候，就没有想到会做关于素数定理的证明，因为那时候我不会证明它，而且我认为它是高高在上，是我无法触及到的。
而最近，我读到了《素数定理的初等证明》，第一次踏进了素数较深的世界。如果有细心的读者会发现，之前我预报这期的名称叫“素数（3）：素数定理”，但这期的名称叫“素数：素数定理（1）”。首先，我认为素数系列每次标号没什么太大意义，其次，一期不足以完整证明素数定理。我会从只了解素数基础的层次开始讲素数定理，因为我也是从这种基础开始学习的。（注：以上说的素数定理是π(x)~x/lnx）
以下是关于素数定理的推送安排：
这期：“素数：素数定理（1）”，主要内容是讲默比乌斯变换和几个简单的素数定理。
下一期：“素数：素数定理（2）”，主要内容是引入几个关于素数的重要函数以及等价形式。
下下期：“素数：素数定理（3）”，主要内容是引入几个重要相关定理，最终证明π(x)~x/lnx。
注意
这三期中的小写“p”表示素数，“pn”表示第n个素数。π(x)表示小于等于x的素数个数，其中x默认是≥2的正整数。[x]表示≤x的最大整数。为尊重《素数定理的初等证明》，文章中的“＜”会最终变为“≤”，因为书上大部分是带等号的。
因为文字量的增大，一些特殊文字会换颜色，如：（1.1），证：，证毕。，（定义）...
01
素数基本性质
先提一下素数的几个最基本的性质：
1.素数有无数个。
2.任意正整数可以拆成一个或多个素数相乘，且拆分方式唯一。
之前素数系列有相关的知识：
02
一些素数定理
先来看一个定理：
（1.1）
证：
我们设N=p1p2...pn+1，若N是素数，则N=pm（m>n），（1.1）成立。若N不是素数（是合数），根据整除原理，N的因子不含p1、p2、...、pn，则N=a*pm（m>n），（1.1）成立。证毕。
（1.1）是比较显然成立的不等式，那么我们要用（1.1）证明下面这两个不等式。
（1.2）
（1.3）
证：
我们先证（1.1），当n=1时，p1=2≤2^2^(1-1)=2显然成立。设s≥2，当＜s对（1.2）都成立，根据（1.1）则
对于任意正整数x≥2，都有且只有一个正整数s，使
根据（1.2）可得
证毕。
（1.4）
证：
设正整数x≥2，对于任意正整数1≤a≤x，都可以表达成a=i^2*j，其中j=1或j是一个或多个不同素数的乘积，即i是a的最大平方因子。则i可能取到的值的个数≤√a，j可能取到的值的个数是
易可得
经过变形，即可变成（1.4）。证毕。
下面来看两个比较复杂的定理。
设x≥2，则
（1.5）
证：
有且只有一个s满足
则有
将连乘符号和括号拆开，可得
可以注意到，上式的分母必然包括a，所以不等式成立。证毕。
对于正数x≥e，有
（1.6）
证：
根据常用函数的性质可知：
则
此外，对于任意n≥2，有
即
将（1.5）不等号左右两边取对数可得
根据以上不等式，可得
证毕。
03
默比乌斯变换
我们先定义默比乌斯函数（Möbius函数）：
当n含有平方因子，则n属于“其他”。默比乌斯函数是一个可乘函数，即μ(xy)=μ(x)μ(y)。
先来证下面这个关于默比乌斯函数的基本定理。
对于任意正整数n，有
（1.7）
证：
当n=1时，显然成立。当n≥2，μ值不为0对应的k值只含有所有质因子次数都为1的因子。设n的最大素因子是pk，运用排列组合，则含素因子个数为r个的因子有C(r,k)个，则
证毕。
下面这个定理是默比乌斯反演公式，或叫变换公式。
设g和f是两个算数函数，则下面两个式子等价。
（1.8）
（1.9）
证：
设（1.8）成立，则交换求和号和（1.7）即可得：
反之亦然。证毕。
我们令上面这个f(x)恒等于1，根据（1.8），g(x)=[x]，即可得：
（1.10）
04
大部分自然数不是素数
接下来是这一期最后一个定理了，其内容是：几乎所有的自然数都不是素数。即：
（1.11）
这个定理可有另外一个定理推出，即：
对于x≥3，存在一个正常数C，使
（1.12）
易知，若（1.12）成立，则
关系成立，那么下面我们来证明一下（1.12）。
证：
设Φ(x,y)表示≤x且素因子都>y的自然数的个数。
设
则根据Φ(x,y)的定义，有
其中
这个步骤挺难想的，然后利用（1.5）可导出：
下面我们来证明上式不等号右边的式子≤1/lny，即证明
我们利用数学归纳法。当y=1时，显然成立，当y=k成立时，
y=k+1也成立，即说明y∈N*都成立，所以
我们又发现：
最终，我们综合上面的式子，可得
我们又根据Φ(x,y)的定义，可得
我们取y=lnx，可得
此时运用极限的知识，（1.12）成立。证毕。
那么这期就到这了，回头我一定要做一期吐槽一下书中的“显然成立”
。大家以后有什么问题，我的内容有什么错误或想让我发一期讲的知识，都可以在公众号内私聊我，我一定回复。过几天我会发一个问卷调查，看看我这一百都不到的用户都适合什么内容或发文形式
，人少我可以更好地关照你们
，以后慢慢发展。