一道平面几何题的12种解法
本题改编自2014年白云区八年级上数学期末试卷
原文链接：一题十二解
如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝160°，AB＝AC，BE平分∠ABC，且分别交AC和⊙O于点D，E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：BC＝AD＋BD．
【原题】
2014年白云区八年级上数学期末试卷
原题图
已知等腰△ABC，AB=AC，∠A=100°，
BD平分∠ABC并交AC于点D，
求证：BC=AD+BD
改编方法：
将△ABC置于圆中即可
【解法集锦】
方法一
辅助线：截取CH=AD
根据BD是角平分线，利用面积法易得AD/CD=AB/BC
等量代换得，CH/CD=AC/BC
证明△CDH∽△CBA
最终得到BD=BM
方法二
常规方法，截取BG=AB，作DH=AD
方法三
方法类似上图，都是证明等腰三角形
方法四
本法比较巧妙，构造辅助线，得△BGH≌△BAD
方法五
角平分线往两边作垂线
方法六
角平分线构造平行线，得等腰三角形
方法七
证明△CDG≌△CDH
方法八
此法亦甚妙，延长BD，使得DF=AD，
证明∠F=30°，利用它所对的直角边BG等于斜边BF的一半，
再证明BG=BH=1/2BC，即可得到结论
方法九
方法比较常规
方法十
此法比较难想，延长BD，使得BH=BC，
再分别延长BA和CH交于点G，
医德A，D，H，G四点共圆，
然后利用∠AGD=∠HGD，得所对的弦相等
方法十一
利用DB、DC为△ACG的角平分线，
得点D为内心，即DG平分∠BGC，
再证明△ADG≌△FDG
此法亦甚妙，唯一利用了改编后的图形“圆”，
延长AC和BO交于点F，易得∠F=30°，
取⊙O上一点G，使得BG=BO，
得△BOG为等边三角形，再证明△BGC≌△AOF
【总结】
本题的关键是利用角平分线进行构造辅助线，大部分使用全等的知识，当然也可以加入面积法与相似。
本题甚至可以不需要使用辅助线，利用高中三角函数和差化积的公式进行求解，当然，由于属于高中的知识，在此不进行拓展。
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