28立体几何解法第一招：蓝银囚笼-借助标准几何体求外接球问题

立体几何解法第一招：蓝银囚笼

-借助标准几何体求外接球问题

标准几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心的位置问题,其中球心的确定是关键.

1.定义法确定球心:在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球球心的如下结论.①正方体或长方体外接球的球心是其体对角线的中点.②正棱柱外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.③直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.④正棱锥外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.⑤若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

2.构造正方体或长方体:若球面上4点

构成的3条线段

两两互相垂直,且

,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据长方体的体对角线长等于球的直径来求解.

3.空间问题平面化,过球心或接点作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系、球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,进而求解.如球与其他旋转体组合时,通常作它们的轴截面解题;球与多面体组合时,通常过多面体的一条侧棱和球心及“接点”作截面图进行解题.

4.由性质确定球心的一般方法:先找一个面的外心,然后由外心作这个面的垂线,由于垂线上的点到该面各顶点的距离相等,得到球心为垂线上某一点,然后根据这点到该面顶点的距离等于到其他顶点的距离确定球心,或者找两个面的外心,分别由两个外心作两个面的垂线,两个垂线的交点即为球心.

【2021届江西省名校高三上学期第二次联考】在三棱锥

中,

,

,

,

,则该三棱锥的外接球的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】在

中,

,即

,又

,∴

为等边三角形

根据题意,有如下示意图:

如图,设

的外接圆的圆心为

,连接

,

,

,连接PH.

由题意可得

,且

,

.

∴由上知:

且

,又

,

∴

,由

,

平面ABC.

设O为三棱锥

外接球的球心,连接

,

,OC过O作

,垂足为D,则外接球的半径R满足

,

,

,代入解得

,即有

,

∴三棱锥

外接球的表面积为

.

故选:A.

1.(原创) 直三棱锥

中,

底面

,

,

,若该三棱柱的侧面积为

,则三棱柱

外球球体积的最大值为__________

2. (原创)如图四边形

中,

为等边三角形,

中,

,且

,

为

的中点,将

沿

折起,设点

在平面

的投影为

,在折叠过程中,当

时,三棱锥

外接球的表面积为__________

3. (原创)如图,四棱锥

中,平面

平面

,

,底面

为平行四边形,,

,

为

的中点,

为

边上的任一点,

中,

,

为

的中点,当三棱锥

体积最大值时,三棱锥

外接球的表面积为__________