与垂径定理相关的压轴题(燕尾及半角模型)

2015-2020上海中考“圆”几何证明题考点及分值分布

年份	题型	考点	分值
15	综合25	25-1同圆的半径相等+全等三角形的判定； 25-2相似三角形的判定+相似三角形的性质； 25-3直角三角形的存在性	14
16	证明23	23-1垂径定理+全等三角形的判定、性质 23-2全等三角形的判定、性质+平行四边形判定	12
17	综合25	25-1同圆的半径相等+A.A判定三角形相似 25-2直角三角形的存在性+特殊角 25-3比例中项	14
18	综合25	25-1垂径定理+四者关系 25-2锐角三角比+构造平行线 25-3圆与正多边形、中心角	14
19	证明23	23-1全等三角形的判定、性质 23-2相似三角形的判定(SAS)+菱形判定	12
20	证明23	25-1垂径定理+等腰三角形的三线合一 25-2等腰三角形的存在性问题 25-3构造平行线+勾股定理	14

从考点分布来看，上海中考中与圆相关的几何证明，其考点主要围绕着垂径定理和相似三角形、全等三角形、勾股定理、锐角三角比展开，同时涵盖了分类讨论思想，综合性较强。

2015-2020上海中考“圆”几何证明背景图形

垂径定理背景下的压轴题

解法分析：本题的背景虽然是圆，但是提供的条件为AD=AE=1，后续问题的解决不需要依托圆背景进行了。第1问虽然考察了相似三角形的存在性，但是根据∠B=30°，得到∠A=60°，继而得到▲BDP是一个底角为30°的等腰三角形，那么相似的情况也只有AE=EP这一种情况，再根据∠P=30°，得到CE的长度；第2问考察了∠BPD的正切值，但是∠BPD已经在Rt▲CEP中，因此求CP的长度是关键。首先在Rt▲ACB中利用勾股定理得到AB、BC的长度，再根据图形“燕尾三角形”的特点，添加相应的平行线，利用2次基本图形(A/X型)，得到CE的长度；第3问求▲ABC的周长，但是已知了CE=1+x，因此落脚点就在于如何求∠A的三角比，继而用含x的代数式求得AB、BC的长度。

特别的，过点A作AQ⊥DE，此时∠DAQ=∠P，而∠P恰好是53°角的半角，可以快速得到tan∠BPD=1/2.

解法分析：本题的图形是典型的“燕尾三角形”，因此许多问题的解决围绕着添平行线构造A或X型基本图形。第1问通过作平行线得到OE:CE的值，也可以发现E为▲ABC的重心，那么问题的解决迎刃而解；本题的第2问通过联结OM后，利用射影定理得到EM和CM的长度，继而得到∠ABC的正弦值；本题的第3问的探究一的背景是“558”的等腰三角形，充分利用角之间的关系，同时还是作平行线构造A型基本图形，建立y和x的函数关系式；探究二在探究一的基础上，可以得到H为DF中点，同样将问题进行化解。

垂径定理与燕尾三角形模型的综合应用

相关链接：2021一模奉贤25题

解法分析：本题将垂径定理和圆中的位置关系相结合进行综合考察。第1问考察了直线与圆的相切，构造了直角三角形，利用sinB可以求出半径；第2问考察半角三角形、垂径定理和锐角三角比的综合应用，继而建立y关于x的函数关系式；第3问中可得圆心O为EC与BC垂直平分线的交点，即直线AN与PQ的交点，利用三角比得到PN的长度，继而得到BP→BD→AD的长度。

半角三角形模型：常见30°、45°、37°、53°的半角模型

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