粒子物理学家在20世纪下半叶发展了一个优雅的理论模型，为我们理解宇宙中的基本粒子和力提供了一个框架。这个强大的框架就是所谓的标准模型，它的主要成分之一是希格斯场，这是一种无处不在的量子场，负责赋予粒子质量。由于量子力学中的波粒二象性，希格斯场有一个基本粒子，也就是所谓的希格斯玻色子。

本文的目的是为希格斯玻色子及其性质提供一个更数学的解释。

图1：这张照片显示了希格斯玻色子衰变成两个光子的事件，绿色的线是它们的能量沉积。这个实验使科学家们能够缩小希格斯粒子的质量范围。

自发对称性破缺

虽然自然的基本法则有几种对称性，但我们的世界远非对称的。用物理学术语来说，拉格朗日函数是对称的，但它们所描述的世界却不是。事实上，研究这种对称性是如何被打破的，是物理学的一个中心主题。

首先，让我们考虑一个对称破缺的例子，其中系统由相互作用的n分量标量场组成。

标量场

考虑一个有分量的n维标量场的拉格朗日量：

式1：n维标量场。

拉格朗日密度为：

式2：旋转对称的拉格朗日密度（N维）。

注意到质量项的符号是负的。拉格朗日函数是：

式3：拉格朗日量对应的拉格朗日密度。

N = 1情况

如果N=1，拉格朗日函数有极值：

式4：拉格朗日系数L的极值。这里，第一个ϕ是局部极大值。

其中ϕ=0为最大值。其它两个ϕ，即v或-v，都是等效的基态，我们可以选择其中之一作为我们的基态。基态称为VEV（真空期望值）。

现在，注意两个极值之间的隧穿势垒是无限的：

式5：在QFT中拉格朗日函数 L的极值之间的势垒是∞

这是因为式5中的时空积分是无限的。由于势垒是无限的，基态波函数（或泛函）不能在极值之间隧穿。因此，普通量子力学中存在的ϕ→-ϕ反射对称性被打破。但是，，对称破坏并不是由于 L中引入新量造成的。

N = 2情况

在这种情况下，势能是著名的墨西哥帽势能。我们现在有无穷多个物理上等价的极小值（或真空）。所有这些真空具有相同的值，即：

式6：N=2
时
所有最小值的平方。

注意每个最小值点在不同的方向上。但其结果不能依赖于对ϕ方向的选择，因此我将选择：

ϕ为单向的
其中ϕ₁=+v的值由式6给出。

图2:“墨西哥帽”势函数V（ϕ）及其无穷极小值

现在我们通过写出极小值来研究ϕ₁和ϕ₂周围的波动：

式7：在极小值附近的波动。单分量沿径向波动，双分量在电势的最小值处绕圆波动。

将式7代入拉格朗日方程可得：

式8：ϕ的第二分量是无质量的。

希格斯机制

现在我们在拉格朗日方程中加入规范场A。规范理论，根据定义，是一种场论，它的拉格朗日量在某些类型的群的变换下是不变的。根据规范原理，宇宙中三种基本相互作用的基础，如果我们改变描述它的方式，物理性质不应该改变。规范理论有两种类型：阿贝尔理论和非阿贝尔理论。阿贝尔规范理论的一个例子是我们熟悉的电磁理论。

电磁场

我们从电场和磁场E和B的麦克斯韦方程开始：

式9：麦克斯韦的电场和磁场方程，E和B。

图3：描绘了一个地磁暴，其中的带电粒子通量的激增改变了地球的磁场，在大气中诱导电场。

电场和磁场可以用势V和A表示为：

式10：用电势V和A表示的电场和磁场。

我们可以把V和A归入向量势：

式11：对偶向量势

与电磁场有关的拉格朗日，其方程在矢势的规范变换下是不变的：

式12：一个规范变换，其中χ是一个标量函数

由下式给出：

式13：电磁场的拉格朗日量。矢量j为以电荷和电流密度为分量的4维电流。

张量F是：

式14：电磁场张量。

注意F在规范变换式12下是不变的。阿贝尔规范理论在U（1）群下是全局不变的。n次的酉群U（n）由n × n个酉矩阵组成，采用矩阵乘法的群运算。群U（1）又称圆群，是所有具有模1的复数的乘群。

图4：
圆群
U（1）的图示。

狄拉克场

狄拉克场ψ是费米子场的一个例子，费米子场是一个量子场，其量子是费米子。这些场服从正则反对易关系，与服从正则对易关系的玻色子场相反。

带电荷e和质量m的狄拉克场具有以下自由拉格朗日量：

式15：自由的狄拉克拉格朗日函数。

这里：

式16：狄拉克伴随矩阵。

为狄拉克伴随场，且：

式17：γ矩阵的标准表示。

是矩阵的标准表示。狄拉克拉格朗日函数在全局规范变换下是不变的：

式18：全局规范变换。

在局部规范变换中，α成为函数α（x）和新的拉格朗日不变量：

式19：局部规范变换。

变成：

式20：局部规范变换下的自由狄拉克拉格朗日不变量。

这里

式21：协变导数。

包括电磁场和狄拉克场的量子电动力学拉格朗日量是：

式22：量子电动力学（QED）拉格朗日函数。

图5：第一次发表的费曼图，出现在理查德·费曼的《量子电动力学的时空方法》中

希格斯场和希格斯玻色子

如前所述，我们的世界不是尺度对称的。然而，一个理论有可能具有某种对称性，即使我们对那个物理理论的经验并没有反映出相应的对称性。大量无质量矢量场（如电磁场）的缺失意味着规范对称被打破了。

现在让我们考虑一个在规范理论中如何自发对称破缺的例子。为简单起见，我将考虑最简单的规范理论，即电磁，它是一个U（1）规范场，耦合到其中的一个复标量场。在式18中不变的拉格朗日量为：

式22：耦合于复标量场的U（1）规范场的拉格朗日量。

其中ϕ_1和ϕ_2是ϕ的实部和虚部。

现在我们把标量场写为：

式23：极坐标下的标量场。

转换：

我们生成了一个规范不变组合：

式24：规范不变组合。

正如我们之前所做的，我们选择：

式25：标量势最小的点

成为势能最小的值。像之前一样添加一个波动项：

为解释自发的对称破缺而增加的涨落项。

我们得到以下拉格朗日量：

式27：拉格朗日公式22增加了一个涨落项来解释自发的对称破缺。

这个拉格朗日定理描述了一个质量为M=ev的向量场B它与标量场χ有质量相互作用

式28：标量场的质量χ

注意玻色子θ不在拉格朗日量中。有人说θ被标准场A“吃掉”了，标准场A变成了B。先前的无质量场A有两个自由度，两个极化方向（两个自旋方向）。巨大的规范场获得了一个纵向自由度。从无质量到有质量的这种转变被称为希格斯机制，其中ϕ被称为希格斯场。正如在导论中解释的那样，由于量子力学中的波粒二象性，其中ϕ有一个基本粒子，即所谓的希格斯玻色子。