【中考专题】角系列之最大角问题（米勒问题）

问题描述

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．

问题铺垫

圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．

如图，∠P=∠ACB-∠PBC．

换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角．

问题解决

结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．

证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，

∠AMB即为圆O的圆外角，

∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．

∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．

问题应用

特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP²=OA·OB．（切割线定理）

证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）

∴△AOP∽△POB，

∴OA/OP=OP/OB，

∴OP²=OA·OB．

即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．

最大角问题在中考中出现得并不多，也仅仅能称作是一个问题而已，但既然已经有考到了，我们就需要了解一下~

2019烟台中考

如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6/x（x>0）经过点D，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）

变式练习

已知最大角求直线

如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．

【分析】

考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆．

记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，

故可确定M点位置．

根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），

连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．

∵MC=4，MP=MA=2根号2，

∴CP=2根号2，即△CPM是等腰直角三角形，

易求P点坐标为（1，4），

又C点坐标为（-1，2），

可求直线l的解析式为y=x+3．

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