传统初等几何的一个教育价值

传统的初等几何，即目前中学里的平面几何、立体几何，在现代数学中基本已经没有什么地位了，虽然偶尔还会出现诸如莫莱定理之类比较好的结论。但这些内容在中学里还占有重要位置，许多人是从逻辑推理方面看待这部分的教学价值的，而我以为，这部分还有一个重要的价值。

这个价值就是锻炼表达能力。只有能表达出来的逻辑推理才是好推理。所以，这和前面提到的逻辑推理是密切相关的。我们不能仅仅是明白如何得到结论，还要正确地表达出来。

▲ 阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》, 陕西科技社版本

不要以为数学就不需要文笔了。据说古希腊名著《圆锥曲线论》的序言曾被列为古典希腊文的优美风格之典范（见卢昌海的个人主页《阿波罗尼奥斯的＜圆锥曲线论＞》一文^[1]。但是在今天的数学中，表达能力的锻炼一直是个短板，往往是学生会列式、会计算就行了，这是很不全面的。而初等几何，因为是以文字证明为主，所以特别适合锻炼学生表达能力。这里指的是那种科学上需要的“精确表达”，而不是语文课上的“文学性表达”，特别是后者有时需要用大量的修辞，或者模糊的语言，这根本就是和数学完全相反的追求。

要做到精确表达是很不容易的。我就时常苦恼于如何把别人科普文章里写的叙述性说明改成标准的证明过程。再比如描述辅助线的作图，我们知道可以写“过 A 作 BC 的垂线”，然后再证明垂足是 BC 的中点，也可以先连接 A 和 BC 的中点，再证明这条线与 BC 垂直，但就是不能写成“过 A 作 BC 的中垂线”。而垂直在涉及计算的时候可能又会写成 90 度角。更复杂的问题当然对表达能力要求更高。就拿常用的证明方法“同一法”来说，就不太容易表达。还有就是如何表达“同位角”“内错角”“同旁内角”的定义。

前面所说的这些，当然不是仅在初等几何里才会遇到。以小学数学来说，传统的算术方法往往就会遇到表达问题。我仅举一题：父子二人年龄总和是 50 岁，父亲比儿子大 28 岁。这用方程是很容易的，而且也是我比较推荐的方法，但如果一定要用算术方法，那一定不要错过锻炼学生表达能力的时机。

很多教授都会抱怨学生论文，而在中小学阶段加强表达能力的训练，正好可以为将来作准备。这正如学生在写文章之前要练习组词和造句一样。何况，从事专门文学创作的人毕竟是少数，更多岗位需要的是能够把话“说清楚”的人，即使一个人发狠心背下来整个成语词典，也未必就能写好一则简单的通知或者报告。我希望大家能看到传统初等几何在锻炼科学表达能力这方面的作用。

参考资料

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文章链接: www.changhai.org/articles/science/worldline/ApolloniusConics.php