瞧！这些发明算法的人
量子蒙卡
穿破青春未展颜
时光将老亦无闲
扯来量子缝裁好
披上清云越景山
撰文 | 严正、孟子杨
1 编 按
物理学领域千年来发展至今，给人的印象大多是严谨、规范、自律和低调。文采飞扬、充满感性、甚至于挥斥方遒及指点江山的物理人并不是那么多。不多不代表没有，即便是近现代，我们也能够如数家珍一般举出很多例子。历史也诞生了很多通俗易懂、朗朗上口的名句，如“more is different”、“there's plenty of room at the bottom”，起到了引领科学时尚的旗帜作用。
我国物理人中，亦有一些“文采飞扬、情怀感性”之前辈和当代佼佼者，自然不必提及“笔下娟秀、娓娓道来”的中国物理骄傲之杨振宁先生。当代人中，有如网红物理人“贤说八道”的曹则贤。这里还有一位，即本文作者之一的孟子杨。子杨老师行文通透、情怀充盈，却一直从事着“极为严谨的”量子多体算法之类的研究工作。他似乎能够在两个能量简并、但功能迥异的量子态之间随意跃迁、收放自如。当然，他麾下有一位助手，即本文另一位作者的严正博士，也有类似气质。
期刊《npj Quantum Materials》有幸得严正博士和子杨老师眷顾，而微信公众号《量子材料》亦有缘刊登此文。
1 引 子
发明量子多体问题算法的人，多与普通人不同。他们身上有一种得道高僧、终南隐士的先知之气，往往想要扬弃和重新评价流俗所看重的种种价值观念，率性而为以至于不被社会所理解，甚至被视为狂士和疯子。这其中的原因，恐怕还是来自于在量子多体问题中发明算法本身的难度。
对于量子多体物理学中的基本晶格模型，从量子 Ising 模型，到海森堡模型，到 t - J 模型、Hubbard 模型、量子 dimer 模型、及至时下流行的 K – Γ 模型、Yukawa – SYK、 Kang – Vafek 模型等等。这些问题的计算复杂度，在普遍情况下，都是随着模型中自由度数目 (比如晶格中的电子数、自旋数、轨道数等) 而指数增加。物理学家想要从统计的意义上计算 100 个电子的物理性质，问题的相空间大小就是 2^100 或者 4^100 这样的天文数字。而眼下，就算用到最快的超级计算机，人类的计算能力也只能进行代数复杂度的计算，更不要说处理实际量子材料中阿伏伽德罗常数 (10^23 ) 量级的电子了。
如此困难和挑战，庶几“人生有何意义”和“与尔同消万古愁”这样的终极问题，在一般意义上难有普适的答案。每天面对着这样终极问题的人，其心态自然和普通人不同。这就好比古希腊的悲剧作家，他们明明知道命运是无法抗拒的，作为个人只能退而求其次，尝试着用手中的笔诚惶诚恐地描述悲剧性抗拒的过程，以求得到精神上的出路和慰藉。
在这样的背景之下，如果有人可以设计出一种合适的算法，成功地用代数计算复杂度去克服某个或者某一类量子多体晶格模型问题的指数相空间，其重要性就可想而知、其神奇更是让人惊叹。从算法的发明人来说，因为看穿极度复杂问题的“曾经沧海”和“除却巫山”，因为可以成功地克服看似不可能完成的任务而暂时地摆脱困扰人类的终极问题，他们自然就不愿再被日常中柴米油盐鸡零狗碎的问题所牵绊。因此，他们也就渐渐开始扬弃流俗，独自向着狂士和疯子的方向前进了。阿门！
这样的例子其实不少。比如提出了 h – index 的 Jorge Hirsch，他在量子多体研究方面很大的一项贡献，即是完善了费米子行列式的蒙特卡洛 (determinant quantum Monte Carlo, DQMC) 算法。他在 1980 年代初期的工作，结结实实地告诉人们：半满正方晶格 Hubbard 模型的基态是具有长程反铁磁序的绝缘相。这些坚实的数值结果，为后来的 resonance valence bond (RVB) 图像、doped Mott insulator 和 slave particle 描述自旋-电荷分离等等理论构想，打下了坚实基础。而 Hirsch 本人，从此之后就不屑于凝聚态物理学当下那些一地鸡毛般的杂碎问题了，开始向着狂士迈进，比如他老先生最近的文章：
J. E. Hirsch, Superconductivity, what the H? The emperor has no clothes, https://arxiv.org/abs/2001.09496, also in “APS Forum on Physics and Society Newsletter, January 2020, p. 4-9”.
这题目，就有一股查拉图斯特拉那种“上帝已死”的尼采气扑面而来。
再比如发明了解决海森堡等自旋模型的随机级数展开 (stochastic series expansion, SSE) 算法的 Anders Sandvik。众所周知，诸如海森堡模型或 XXZ 模型所描述的量子磁体基态、相变和动力学，都是老大难问题。但是，因为有了 Anders Sandvik 的 SSE 算法，从 1990 年代开始，人们便有了可以严格计算的高效手段。这一手段易学好用，已经变成眼下许多量子多体计算课题组入门学生的第一步学习资料。Sandvik 有个很有意思的中文名 —— 善德伟。此名虽然不及王重阳、丘处机这样的名号高渺，但还是有一股道系仙气和出世气，都是我们芸芸众生和普通群众所不能比拟的。
如此看来，在量子多体晶格模型中，还是有一些可以用代数计算复杂度来克服指数相空间的成功案例。纵然这些问题需要一个一个地克服，纵然在克服的过程中造就了诸位狂士和仙人，但重要的是，这些成功的算法，比如上面提到的 DQMC 和 SSE，不仅解决了问题，其核心在于在设计中抓住了问题的物理实质，让我等豁然开朗。这些方法，不能只靠强大计算资源和高超编程技巧来解决问题，而更重要的是要运用物理学的原理来达到高效遍历相空间的目的。事实上，高瞄如善德伟老师者，至今还对面向对象编程的做法嗤之以鼻。可见从业人员真正需要的，是追求技术和思想的共同进步，而不是头痛医头、脚痛医脚。量子多体前沿的物理人面对的现状是：不能解决的问题远远多于已经解决的问题，所以每一步推进都显得弥足珍贵！
本文致力于讲述本领域中的一个新进展，推介一个刚刚发明的扫描团簇 (sweeping cluster) 算法。在此基础上，我们展示如何运用这样的算法，去解决量子二聚模型 (quantum dimer model, QDM)。如此成功案例，令人激动和欢愉。
2 解决QDM的扫描团簇算法
量子二聚模型 (QDM) 是从阻挫磁体和统计物理中产生的低能有效模型。这一模型，可以说是把 RVB 的图像用一种简化的方式写在晶格上。QDM 要求每个格点上有且仅有一个最近程 (最近邻) 的 dimer，其局域约束条件见图 1 的正方晶格的 dimer 构型 (黑粗棒表示 dimer)。同样，我们也可以定义三角、六角晶格等格子上的 dimer 构型。
图 1. 量子 dimer 模型的约束条件：每个格点有且仅有一个最近程的二聚体，而如 (a)有格点未配对；(b) 有格点属于多个二聚体；(c) 长程的配对，这样的情况是不被允许的。图片摘自参考文献[1]。
相比于阻挫自旋等等更加复杂的问题，QDM 在系统的 Hilbert 空间上进行了截断，去除高能子空间[1]。因此，QDM 是很多自旋模型和统计物理模型的低能有效描述。
这里，我们通过其与阻挫 Ising 模型的映射[2]来给出说明。
图2 左图所示是一个三角晶格反铁磁的 Ising 模型。这一模型高度阻挫，因为每个三角形的三个 Ising 自旋无法同时实现反铁磁排列。在低能时，有所谓的三角形规则：每个三角形上必定有两对反向的自旋和一对同向的自旋。现在，由三角形晶格出发构造其对偶的六角格子，如图 2 左图的黄色虚线构成的六边形格子，每个格子中间有一个自旋。我们规定，同向自旋之间存在一个dimer (黄色棒槌)；反向自旋之间则是普通的 link (黄色虚线段)。这个低能条件下的三角形规则，就与六角晶格每个格点有且仅有一个dimer 存在严格的映射关系。通过这个方式，我们可以把高能的自旋构型去掉。也就是说，dimer 模型的 Hilbert 空间是一个阻挫自旋模型的低能有效空间。
在阻挫量子 Ising 模型里，自旋子 (spinon) 的激发表现为出现一个三自旋同向的三角形。这样的激发违反了三角形规则，属于系统的高能激发，很多时候可以不考虑。而dimer 模型抓住的是在spinon 激发能量之下的低能物理。比如，我们刚刚在《npj Quantum Materials》上发表的工作[3] (npj Quantum Materials 6, 39 (2021),https://www.nature.com/articles/s41535-021-00338-1)，即是研究 vison (一种 Z2 拓扑序中的任意子) 的动力学性质。如果体系中存在 spinon 的激发，除了掩盖 vison 激发信息之外，还使得 vison 本身的定义变得模糊。
同样，对正方格子 Ising 模型，也可以定义类似的阻挫。以图 2 右图所示。自旋所在晶格上细的线段 (键) 定义为铁磁，粗的线段 (键) 为反铁磁。很显然，这样的规则难以得到全部满足。晶格中一定存在一些违反这一规则的键，我们得到的只是一个低能的正方形规则：每个正方形上必定有一根线段上的自旋对，其能量不是最优的。这一线段处用一个 dimer 构型 (黄色的棒槌) 来表示，即有了约束条件。
图 2. 阻挫 Ising 构型与 dimer 构型的映射：在 Ising 构型的对偶晶格上，生活着等价的 dimer 构型。(左) 为阻挫三角晶格 Ising 模型与六角晶格 dimer 模型的映射，(右) 为阻挫正方晶格与相同晶格 dimer 模型的映射。
经过如此这般考虑，正方晶格中的量子二聚模型 QDM 之哈密顿量一般写为：
上式中 plaq 是对图 1 (或图 2 右边) 中所有平行四边形 plaquette 求和，粗黑棒表示 dimer。其中，动能项 t 将一对平行的 dimer 进行翻转，这是满足约束条件的最小变化。势能项 V 则是一对平行 dimer 带来的能量代价。通过理论推导，可以证明[4]：这一模型在可分 (bipartite) 晶格上对应一个严格的 U(1) 规范场，而
褪去复杂数学推导，我们不妨从图像上来理解一下正方晶格上的 U(1) 规范。
如图 3 所示，在正方晶格上有黑色的 A 格点和白色的 B 格点两套子格。在每个 link 上可以定义一个 flux：有 dimer (黄色棒槌) 的link 表示一个从 B 到 A 的 flux，数值为 3。没有 dimer 的 link 表示一个从 B 到 A 的 flux，数值为 – 1。当把这样的 flux 看成电场 E 时，可对 A 或者 B 点进行散度操作，即有 div E = 0。这是一个严格的格点高斯电磁场，也就是一个 U(1) 格点规范场。更有趣的是，当 t = V 时，即动能 t等于势能 V时，此模型的基态是严格可解的，其基态波函数是一个标准的 RVB 态。这个严格可解的点称之为 Rokhsar – Kivelson (RK) 点[5]。可见，QDM 模型正是一个可以找到自旋液体以及对应的拓扑序和任意子激发的好载体。
图 3. 在正方晶格上，可以定义 A，B 两套子格，此处用黑色和白色圆点表示。在每个 link (键) 上可以定义 flux：dimer 表示一个从 B 到 A 的 flux，数值为 3 (黄色棒槌)；而空的 link 则表示一个从 B 到 A 的 flux，数值为 – 1。
然而，QDM 有一个不同于其它如海森堡或者 XXZ 自旋模型的地方，就是它多了一个局域几何限制条件 (local geometrical constraint)：即每个格点上有且仅有一个最近程的 dimer 存在。对于这样受限的 Hilbert 空间，虽然模型没有符号问题，然而几何限制条件让其模拟求解变得十分繁琐。之所以这样说，是因为传统的蒙特卡洛方法，不管是路径积分的蠕虫 (worm) 算法，还是 SSE 的圈 (loop) 更新方法，都不用考虑局域约束条件，算法只需要满足模型的整体对称性或者整体约束条件就行。比如，只要满足总自旋守恒条件就行。换句话说，自旋的翻转与否，和周边的自旋构型无关。然而，QDM 被施加的局域几何限制条件就不同了。如果把一个 link(键) 当作一个自旋，每个 link 也有两个状态：有 dimer 或没有 dimer。如果此时只是翻转单个 link 的状态，即从占据变成不占据或者反之，则会破坏每个格点有且仅有一个 dimer 的约束条件。
那怎么办呢？为了满足如此严格的约束条件，必须在每次蒙特卡洛更新的时候都要检查是否违反了这一局域约束条件。这就是问题的难处，模拟时不光要在指数相空间中做高效更新，还得在每次更新时遵守局域约束条件，这就好比要带着手铐和脚镣跳舞：费时、费力、还难看！
图 4. 以交替有无 dimer 为间隔走一个圈，即图中虚线边界的路径，dimer 用蓝褐色 bar 表示。如果将圈内 link 尽数翻转，就得到一个新的 dimer 构型，也满足约束条件。图片摘自参考文献[6]。
在经典的 dimer 模型 (即哈密顿量只有 V 项) 中，前人构造了首尾相接的 loop 算法[6]，如图 4 所示。很显然，只要虚线包围的路径构成一个 loop，loop 内的 link 都翻转，就依然可以满足约束条件。但是，量子模型中还有一个t 项，系统在虚时方向需要用哈密顿量来演化，而不是随机走一个圈而边走边翻转 link 就行了。
这个哈密顿量演化条件让问题变得极为复杂，应该怎么设计量子dimer 模型之更新才能满足这一约束条件呢？
这里，该是我们的扫描团簇算法登场的时候了。众所周知，一个 N 维量子模型，可以映射为一个 N + z 维的经典模型 (很多时候 z = 1)。量子蒙特卡洛的思路也正是如此，即通过虚时间轴 (imaginary time)，将各个虚时间的经典构型连接在一起进行抽样。因此，一个可行的解决方案应当如图 5 所示：图中每个虚时间对应一个经典构型层，层与层之间用量子演化算符联系起来，即基本的路径积分思想。当我们对整个虚时间构型更新时，在每一层经典构型看来，都应该进行了 loop 更新以满足约束条件，即如图中蓝线所示。同时，这些不同层的蓝色 loop 之间还必然存在一些如红线所示的更新线，来更新层间的量子演化算符，使得整个更新满足路径积分规则且遵从约束条件。
事实上，如此构想，很多前人都做过尝试，但是没有取得成功。问题的难处还是在于怎么把局域的约束放进路径积分的更新过程里。
图 5. QDM 的量子蒙卡算法概念图，其中每一层等价于图 4 所示的经典晶格。图片摘自参考文献[7]。
熟悉 SSE (随机级数展开，stochastic series expansion) 的朋友都知道：虚时间内的算符和构型，可以用更新线来进行翻转。同时，更新线其实也记录了新的构型信息，可以被有效利用。这里，我们正好可以利用更新线来记录几何限制，构造新的更新模式。在自旋模型的 SSE 算法中，更新线往往单独行动，不受其它更新线的影响。而在约束条件下，如果让所有更新线沿着虚时间方向一起更新，这样就把约束条件记录在更新线中、并同时带到下一层。如果我们把虚时间想象成真的时间，那么在每一个时刻只要我们做一些满足约束条件的动作，下一个时刻，该构型势必还是遵从约束条件的，然后再对它进行操作更新，如此继续即可。这样就可以在受限的 Hilbert 空间中实现满足要求的更新。以前的量子蒙卡更新正是没有在此处细心推敲，所以对约束只好束手无策。
基于这样的想法，可以把虚时间上哈密顿量算符对系统构型的更新操作用图 6 这样的图表示出来。在图 6 中，上 / 下方框表示算符作用后 / 前的 dimer 构型，中间的横线是一个作用在该 plaquette 上的哈密顿量算符。举个例子，比如 (a) 表示一个对角算符 (即哈密顿量中的 V项) 作用在一对平行 dimer 构型上后，其构型不变。类似的，(b) 表示一个非对角算符 (即哈密顿量中的 t 项) 作用在一对平行 dimer 构型上后，其构型改变。同时，为了遍历性，量子蒙卡方法常常会在哈密顿量中添加常数项 (并不改变任何物理结果)，如图 6 (c)、(d)、(e)、(f) 就表示常数项作用在构型上，构型保持不变。另外，我们在图中还会看到带有箭头的线，这些就是前文中提到的更新线。更新线所到之处，link 被翻转，算符的种类随之会发生改变。如图 6 的例子，表现了当下方的更新线到达后，上方的更新线应该如何生长。比如 (a) 所示，下方的更新线到达之处，link 上的 dimer 被翻转，即下方变成一个空的 plaquette。此时，只有常数项算符可以作用在这种构型上，所以中间横线代表的算符必然是常数项，上面的构型也必然是一个空的 plaquette。所以，上面的两个 dimer 需要被翻转，即生长出两条更新线。
值得注意的是，(c) 和 (d) 两种情况下，下方的更新线到达后，都生成了一对平行的 dimer，而 t 项与 V 项都可以作用在一对平行 dimer 的构型上，从而可以有一个选择自由度：即转动这对 dimer (非对角算符) 还是不转动 (对角算符)，从中选择 (c) 或者 (d) 继续生长更新线。
图 6. 一些更新的示意图。上 / 下方框表示算符作用后 / 前的 dimer 构型，中间的横线是一个作用在该 plaquette 上的哈密顿量算符。如 (a) 表示一个对角算符 (即哈密顿量中的 V 项) 作用在一对平行 dimer 构型上后，其构型不变。(b) 表示一个非对角算符 (即哈密顿量中的 t 项)，作用在一对平行 dimer 构型上后，其构型改变。(c)、(d)、(e)、(f) 表示常数项作用在构型上，构型保持不变。带箭头的线是更新线，更新线所到之处，link 被翻转，算符的种类随之会发生改变。这里给出了一些例子，当下方更新线到达后，上方更新线应该如何生长。图片摘自参考文献[7]。
有了这些设计之后，我们不妨看一个完整的团簇更新的例子。
以二维正方晶格 QDM 为例，将图 5 的三维立体图按照虚时间顺序一层一层摊开，逐层解剖，以便仔细看看团簇更新是如何发生的。在图 7 中，每一个小图表示某一个特定虚时刻的构型，箭头走向表示虚时间方向 ((a) 和 (b) 中各有 9 个构型)。“D” 和 “N” 表示作用在该方块 (plaquette) 上的对角和非对角算符。再次特别提示，对角项并非单纯的 V 项。为了更新的遍历性，一般我们会在哈密顿量里加常数项，使得 plaq 中即使没有平行 dimer 也有权重。非对角项即t 项。图 7 (a) 和 (b) 表示团簇更新前和更新后的虚时 dimer 构型。更新后的图中，红色的 “D” 和 “N” 表示这里要随机选取两种算符 (对角或者非对角) 中的一种，而我们随机选取了红色的这种。白色的小圆圈表示垂直纸面穿过该处的更新线，也就是说有圆圈的键 (link) 处需要翻转。从每一层的虚时间切片看，的确是经典 dimer 型下的经典圈 (loop) 更新方法。从 (b) 中清晰可见，白色圆圈围成的圈由小变大，再由大变小，最后生成一个三维的团簇并结束更新。
图7. 量子 dimer 模型的虚时间扫描团簇更新。每一个小图表示某一个特定虚时刻的构型，箭头走向表虚时间方向。“D” 和 “N” 表示作用在该方块上的对角和非对角算符。 (a) 和 (b) 表示一组团簇更新前和更新后的时空 dimer 构型。更新后的图中，红色的 “D” 和 “N” 表示要随机选取的算符 (对角或者非对角)，此处选取了红色所写的算符。白色的小圆圈表示垂直纸面穿过该处的更新线，也就是说有圆圈的键位处需要翻转。从每一层的虚时间切片看来，回到了经典 dimer 型下的经典圈更新方法。图片摘自参考文献[7]。
固然，到目前为止的描述仍然比较简略。但是，通过这样的基本规则和设计，可以成功实现一个约束体系的更新。这一实现过程，其实也完成了 QDM 对应的物理过程在 dimer 时空表象下的操作。再经过细致平衡计算，可以给出具体的更新接收概率。此处不做进一步的展开，更多的细节参见文献[7，8]。
因为更新是沿着虚时间方向展开，并且在更新过程中多线并行形成时空团簇，而团簇又在时空的扫描 (更新过程) 中不断发生变化。故而，我们将此方法命名为扫描团簇 (sweeping cluster) 算法[7, 8]。
3 应用于三角晶格QDM
图片
图10. QSL – VBS 相变的序参量的统计分布图。因为此处的序参量生活在 4 维空间 (O(4) 对称性)，我们采用两种方向的2维投影来表示。(a)、(b) 为相变点处的分布图 (V = 0.85)，可以看到分布接近正圆，说明序参量确实生活在 O(4) 球面上，具有涌现连续对称性。(c)、(d) 为 VBS 序内部的分布图 (V = 0)，可以看到由于对称性发生破缺，此时序参量分布在 O(4) 球面上的离散点处。
拼图的最后一块是 QSL – VBS 相变点的性质。前期的理论工作认为，由于 √12 × √12 的 VBS 复杂的对称性破缺方式，这个相变点可能具有涌现 O(4) 对称性。但是涌现连续对称性这种事情还得靠重整化群流动中的种种机缘巧合。这本身就是强关联的问题，不是像平均场微扰论那样心诚则灵的，需要数值计算来做无偏差检验。感兴趣的读者可以看看笔者旧文 [13]，讲的就是涌现连续对称性在实际系统中不涌现的例子。
4 瞧！这些发明算法的人
拉拉杂杂写下这些，其实就是想把扫描团簇算法的发明及其在解决量子 dimer 模型中的应用过程推介给感兴趣的读者。正如本文引子中提到的，量子多体问题十分复杂，每一步算法的进步都推动着领域前进的扎实脚步。以代数量级的计算复杂度去征服指数量级的量子多体相空间，渗透着人们对于物理问题本身的深入理解。在算法设计中，也体现了紧密契合模型微观物理过程的尝试，以及对最新计算软件硬件的熟练应用。当然，对量子多体问题的探索，最终还体现着人们对于问题本身深刻而丰富的物理内涵之深深眷恋和不懈求索。
无论如何，对于这些发明算法的人，也许他们在最终看破一切之后会遁入空门、逃进深山、避世嫉俗。但是，面对着 “以代数计算复杂度征服指数相空间”这样庶几的“人生有何意义”之终极问题，他们痛苦过、奋斗过、成功过 (更多的时候是失败过)。这样结结实实、有血有肉的独特体验，是他们的光荣，更是他们的成绩与自豪。
参考文献
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[11] Wang, Y. C., Cheng, M., Witczak - Krempa, W., & Meng, Z. Y. (2020). Fractionalized conductivity at topological phase transitions. arXiv preprint, arXiv: 2005.07337.
[12] Sun, G. Y., Wang, Y. C., Fang, C., Qi, Y., Cheng, M., & Meng, Z. Y. (2018). Dynamical signature of symmetry fractionalization in frustrated magnets. Physical Review Letters 121, 077201.
[13] 孟子杨，《学好蒙特卡洛，不会被忽悠》，https://mp.weixin.qq.com/s/1uqCWbKmIELOR8ehFvtSSw
备注
(1) 笔者严正、孟子杨，目前供职于香港大学。《瞧！这个人》是德国哲学家尼采的自传，这里借这个题目，取仰慕先贤“重估一切价值”的批判精神之意。
(2) 文首处的小诗为 Ising 所撰，表达对发展计算方法的物理人之敬意。
本文经授权转载自微信公众号“量子材料QuantumMaterials”。