丘成桐:数学，源于自然之道
奇趣数学苑 2018-10-29
数学之为学，有其独特之处，它本身是寻求自然界真相的一门科学，但数学家也如文学家般天马行空，凭爱好而创作，故此数学可说是人文科学和自然科学的桥梁。
数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律。数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。
古希腊哲学家毕达哥拉斯就认为，音乐的和谐来自某个距离比率的数字。他在肠弦末端绑上重物，发现重量比是2：1时，肠弦发出了八度音程；重量比是3：2时，得五度音程……
巴赫将这种音程的和谐关系运用到实践中。他在一千多首作品，穷尽了对位法的组合，充满了规则和秩序。规则不是教条，秩序来自热忱。《哥德堡变奏曲》中，声部间回转、分离、穿插、偶遇、对称、并流，每一细节都静稳妥帖，每一褶皱与镂痕都纤毫毕现。他的作品中，一个音符都不能改。巴赫因此被誉为音乐界的数学家。
巴洛克艺术讲究数学的“绝对美”。在巴洛克建筑中有很多对称和数字上的精确要求，比如几何曲线的弧度，廊柱上的涡卷饰的数目。爱奥尼克的罗马柱，柱身要求凿出24条凹槽，少一条都不可；柱子上精雕着棕榈叶，莲花辫、卵型花边或串珠饰，若少一瓣叶子、少一颗珠子都不对。这种繁复绮丽的建筑，若缺少结构中数学的“高阶和谐”和“绝对美”，一定混乱得可怕。
刘勰在《文心雕龙·原道篇》说，文章之道在于“写天地之辉光，晓生民之耳目。” 刘勰以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。他又说：“人与天地相参，乃性灵所集聚，是以谓之三才，为五行之秀气，实天地之灵气。灵心既生，于是语言以立。语言既立，于是文章着明，此亦原于自然之道也。”
历代的大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明，也是由于探索自然界的现象而引起的。 广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。研究这种几何结构，让人时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》、《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。
山村咏怀
北宋·邵雍
一去二三里，烟村四五家。
亭台六七座，八九十枝花。
赏析：一眼看去有二三里远，薄雾笼罩着四五户人家。村庄旁有六七座凉亭，还有许多鲜花正在绽放。前两句是线状的视觉印象，“一去”做水平运动，”二三“虚指数量多，炊烟袅袅呈垂直状态，“亭台六七座，八九十枝花”两句变换为点状视觉印象：亭台座座，鲜花朵朵。寥寥几笔就构成一幅自然朴实而又朦胧的山村风景画。
数学以简洁而富于变化为宗，文采绝不逊于文学创作。数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则，甚至在自然界中发挥作用。陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东蓠下，悠然见南山”的意境。
从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、来布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作。
文学家为了达到最佳意境的描述，需要追究“僧推月下门”与“僧敲月下门”的区别。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想像力。
数学的研究中，也用“比兴”的方法去寻找真理。然而文章终究有高下之分，大致来说，好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。
中国古诗十九首，作者年代不详，但大家都认为是汉代的作品。刘勰说：“比采而推，两汉之作乎。”这是从诗的结构和风格进行推敲而得出的结论。在数学的研究过程中，我们亦利用比的方法去寻找真理。我们创造新的方向时，不必凭实验，而是凭数学的文化涵养去猜测去求证。
举例而言，30年前我的一个猜测，断言三维球面里的光滑极小曲面，其第一特征值等于二。当时这些曲面例子不多，只是凭直觉，利用相关情况模拟而得出的猜测。最近有数学家写了一篇文章证明这个猜想。其实我的看法与文学上的比兴很相似。
看《洛神赋》：“翩若惊鸿，婉若游龙。荣曜秋菊，华茂春松。髣髴兮若轻云之蔽月，飘飘兮若流风之回雪。”由比喻来刻划女神的体态。 一方面想像三维球的极小曲面应当是如何的匀称，一方面想像第一谱函数能够同空间的线性函数比较该有多妙，通过原点的平面将曲面最多切成两块，于是猜想这两个函数应当相等，同时第一特征值等于二。
当时我与卡拉比教授讨论这个问题，他也相信这个猜测是对的。旁边我的一位研究生问为什么会做这样的猜测，不待我回答，卡教授便微笑说这就是洞察力了。 数学家和文学家的思维一样敏锐而自由，同样的事物在他们眼中会变成不同的风景。
数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有10个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们可以从不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。
王国维在《人间词话》里说：“词以境界为最上。有有我之境，有无我之境。'泪眼问花花不语，乱红飞过秋千去。’有我之境也。'采菊东蓠下，悠然见南山。’无我之境也。有我之境，以我观物，故物皆着我之色彩。无我之境，以物观物，故不知何者为我，何者为物……自然之物互相关系，互相限制。然其写之于文学及美术中也，必有其关系限制之处。故虽写实家亦理想家也。又虽如何虚构之境，其材料必求之于自然，而其构造亦必从自然之法律。故虽理想家亦写实家也。”
数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境，当年尤拉开创变分法和推导流体方程，由自然现象引导，可谓无我之境，他又凭自己的想像力研究发散级数，而得到zeta函数的种种重要结果，开300年数论之先河，可谓有我之境矣。另外一个例子是法国数学家Grothen－dick，他著述极丰，以个人的哲学观点和美感出发，竟然不用实例，建立了近代代数几何的基础，真可谓有我之境矣。
不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境。《文心雕龙·神思》：“文之思也，其神远矣。故寂然凝虑，思接千载；悄然动容，视通万里。吟咏之间，吐纳珠玉之声，眉睫之前，卷舒风云之色，其思理之致乎。”