教了41年中小学数学的藤校教授说：数学课上根本没有数学
看点 数学是什么？数学有什么用？数学的乐趣在哪里？大多数人学了十几年数学都无法回答。哥大博士、藤校教授、专业数学家保罗·洛克哈特，“下沉”教授中小学数学课四十一年，他如何看待传统的数学课？如何把数学还给数学课？他的经历又对学校教育有哪些普遍的启发？近日，外滩特约作者、上海民办平和学校IBDP TOK教师瞿逸冰与保罗进行了对话。
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文丨瞿逸冰 编丨Luna
“我完全不想聊学校。”保罗·洛克哈特（Paul Lockhart）说。
屏幕另一端，作为采访者的我有点尴尬，因为我的采访提纲中列了很多学校教育的问题。
在采访前，我知道因为保罗的背景、经历、和作品，让很多美国人将其视为教育的救兵。保罗是专业数学家，哥伦比亚大学博士，加州大学伯克利分校和布朗大学的教授。
他是学校的逃兵。在很多场合，他都直言不讳地说，“我从来没有享受过一节数学课”。大学只读了一学期，他旋即退学，自己钻研数学。
保罗·洛克哈特
保罗不是只会批评的务虚派，至今他已经教了41年数学课。大学退学后，他就一直兼职中小学数学家教，用自己学数学的方式教数学。2000 年，他决定系统地教，于是“下沉”到纽约布鲁克林的圣安学校，这所学校从幼儿园到高中都有，保罗每个年级都教。
此外，他还出版了三本书《一个数学家的叹息》、《度量》、《极简算术史》，每一本都在亚马逊畅销榜上。
《一个数学家的叹息》在美国教育界引发了特别的轰动。斯坦福教授、Coursera热门课《数学思维导论》主讲人德夫林（Keith Devlin）曾评论说，这本书是他认为对K12数学教育最好的批评。
藤校教授，中小学，数学课。
数学课，如此重要却好像天然与有趣为敌。保罗认为数学是什么？应该怎么上课？这样一个实践者又为什么不愿意谈学校呢？
四月的最后一天早晨，我和保罗进行了一场对话。
保罗（左）与本文作者瞿逸冰（右）
“为什么很多人都不喜欢数学？”
喜欢数学常常和高智商人群联系在一起，因此，我只好躲在“很多人”这个词背后，代表自己问保罗。
不过，出乎意料，数学家保罗倒是很理解这种不喜欢，因为他也不喜欢，“数学课上根本没有数学”。
保罗有个绝佳的类比，他称之为“音乐家的噩梦”。
想象有一天，音乐成了学校里最重要的那门课。
我们都知道，音乐家用音乐的语言说话，这种语言由奇怪的“黑色豆芽菜”和线条构成。因此，专家们决定，小学到高中的音乐课，首要任务就是帮助学生熟练掌握这门语言的规则。
一个小学生不堪其苦，吐槽说：
“音乐课就是我们拿出五线谱纸，老师在黑板上写下一些音符，然后我们抄写下来，或是转换成其他调。我们必须确定谱号和调号的正确性，而我们的老师对于四分音符是否涂满，要求非常严格。有一次我在半音阶的测验题中答对了，老师却没给我分数，说我把音符的符干摆错了方向。”
而较高年级的学生，必须为标准化的测验和大学入学考试做准备，学习音阶和调式、拍子、和声、复调等课程。
老师们说，“他们得学习一大堆东西，但是等到大学他们终于听到这些东西，他们将会很感激在高中所做的这些努力。”
当然，大学里主修音乐的学生并不多，而一直到研究生阶段，大家才开始被允许欣赏和创作。只有少数人才听过音乐。
即使如此，专家们坚持认为，让社会上每个人都知道什么是转调、什么是赋格是很重要的。
有一丝荒谬？
还好，这不是音乐教育的现实，不过很遗憾，这是数学教育的现实。
保罗说，不否认，凡事都需要练习，但是练习不是目的。
现在的学校花太多力气在教授数学的“规则”上，比如概念、公式、技巧等等，而忽视了数学的本质。
英国数学家哈代（G.H. Hardy）认为，数学是研究模式的学科，“一位数学家，就像一位画家或诗人，是模式（pattern）的创造者。如果他的模式比画家或诗人的模式能留存得更久，那是因为这些模式是用理念（ideas）创造出来的。”
作为一门伴随人类两万年的学科，每个人当然有能力做数学、欣赏数学。
“如果你觉得一个小学生可以写莎士比亚读后感，为什么他就不能对数学提点看法？”保罗说。
2000年的时候，保罗来到纽约市布鲁克林区的圣安学校，开始系统教授幼儿园到高三数学。
这所学校和保罗是一代人。1965年，一群热爱诗歌、戏剧、艺术的嬉皮士，不想让孩子接受工业社会的标准化教育，开办了这所学校。
圣安学校
著名学者戴锦华曾说，二十世纪六十年代“是理想主义处在最高峰和最强音的时代”，马丁·路德·金、圣雄甘地、切·格瓦拉、甲壳虫乐队都是那个时代的面孔。
一个理想主义者，一所理想主义学校，全新的数学课就这么开始了。
在保罗眼里，数学家的艺术就是：对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。
把数学还给数学课，保罗做了这两点：
1. 选择有趣，而不是有用的问题
你猜，YouTube上最火的数学视频是关于什么的？
贷款利息？中奖概率？人工智能？
都不是。
这个视频讨论的问题很简单：
与生活毫无联系的问题，但足够让网友着迷。
学校的数学课就缺少这种纯粹的乐趣。
近几十年来，数学教育不断改变，很多人想让数学变得更有趣、更实用。
比如，我们会让小学生计算贷款利息，觉得这就是真实世界、贴近生活，但是作为一个看到贷款利息就头晕的成年人，你觉得孩子真的会对复利感兴趣吗？
又比如，一个小学代数问题，“如果我们知道玛丽现在的年龄是她七年前年龄的两倍，你能算出来她现在的年龄吗？”
看似很日常，实则牵强。难道有人会知道一个人“现在的年龄是她七年前年龄的两倍”，却不知道她的实际年龄吗？
在保罗看来，数学课在强行创造与生活的联系，而“数学的有趣之处，就在与我们的生活完全无关！”
如果你的手边正好有笔和纸。请你在纸上画任意一个四边形，取各条边的中点，联结起来。
出现了什么？
一个平行四边形。
请你多尝试几次。
你会发现，不管原来是什么样的四边形，他们四边中点所连成的封闭图形总是一个平行四边形。
“这太令人惊讶了，”尽管已经是专业数学家，保罗还是会为这样的事实感到激动，因为“数学就是原始的创造力和美学的感受力”。
多画几次，不用启发式提问、不用项目式学习，更多的问题马上就会随之出现，是否总是一个平行四边形？为什么总是一个平行四边形？
简单、明确、没有用，但这就是数学，数学就是想知道、玩耍、娱乐自己。
2. 忘记技巧、公式、概念，让孩子做数学
如图，在长方形中有，一个三角形，我怎么知道这个三角形的面积是长方形的多少呢？
如何知道答案？我们试着像图上那样，用一条线把长方形切成两半。
可以发现，这两个部分都正好被三角形的斜边均等切开，所以三角形里面和外面的空间是相等的。
也就是说，这个三角形一定是正好占了长方形的一半！
这就是数学家的艺术！
保罗说，数学就是对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。
“没有其他事物能达到如此纯粹的概念世界；如此令人着迷、充满趣味，而且不花半毛钱！”
保罗的课上，就这么玩数学。
他最喜欢给低年级上课，因为他们接受的学校数学训练不多，因此还保持着很大的兴趣。
“没有小孩不喜欢数学”，保罗说。
和低年级的学生一起，他们玩各种游戏、做各种尝试。
比如，一起摆弄小石子，就像古巴比伦人一样。
有些数量的小石子能排齐、一对一对的，有些则不能，总是会有一颗石子没有同伴。所有的孩子都能在这时发现，能不能排齐，可以作为一种数的性质。
在教科书上，我们称之为奇偶数，但是在保罗的课上，你可以自己命名，因为这是你的发现。
“数学家们最不在乎的就是概念的名字，”保罗说，所有的名字只是当时的人做出的选择而已。
而学校的数学过于强调技巧、概念，重视“什么”而不是“为什么”，伟大的问题、问题的历史、创意的过程，这些数学的背景，也随之消失。
在保罗看来，真正的数学教育应该是：
丢给学生一个好的问题，让他们花力气去解决并尝到挫折，看看他们能得到什么。直到他们亟须一个想法时，再给他们一些技巧，但是不要给太多。
作为一个不用考试的成年人，我当然觉得保罗的课非常有趣。但学校是有节奏的、家长是有要求的，于是我问，“家长都认可你的课吗？”
“三分之一的家长非常喜欢，三分之一非常不喜欢。”保罗很诚实。
有次，保罗在学校为家长们做课程介绍，他的同事听到走廊外家长们的议论：“教这些东西，考试又不考，这些孩子将来能上藤校吗？”
保罗苦笑：“我就是藤校教授，上了藤校不是还是得和我学？”
保罗很受美国教育界的瞩目。很多数学老师写信给他，说自己也想改变，希望把数学课教得像他一样有趣。
但是他知道，自己的课从来不是什么创新课堂的方法论，而是特定环境下奢侈品。
保罗说，有一次他的朋友去参观一所学校，给他发了张学校的宣传图，图上有三个齿轮卡在一起，分别写着学生、家长、学校。
学校本意是想表示三者的紧密关系，但是从工程学的角度说，这些齿轮都没法动起来。
“这是一个极好的学校系统的隐喻，”保罗大笑。
四十一年的教学经历让保罗认识到，数学课与真正的数学渐行渐远。学生、学校、家长，都被困在这个既有体系里，很难改变。纵使教育学者们如何想要提高学生的兴趣，也因为数学课的本质已变，也就不能治本。
因此，接到中小学数学老师们的求助，他总是先问，你的学校给你多大的空间？如果没有，那建议还是不要改变。
作为一个老师，尽管对方是一个数学家，而且明显地不爱聊学校教育。我还是请他给点建议。
近几年来，清北等名校博士选择去中学教书。很多人都在讨论，这是不是一种浪费？
论学历、论背景，藤校博士加教授，保罗算是顶配。所以我很想知道，教了二十多年中小学，他认为学校到底需要怎样的老师？
“博士们应该去教中小学吗？”我问。
保罗哈哈大笑，说他认识非常多的数学家，好像他们都不太适合教中小学，教书的背后是人与人之间的联系，但其实“很多研究者都不会和人交流”。
不过，保罗说，博士们或者专家的好处在于，更懂学科、也更热爱学科。
这很重要。很多时候，学生感受不到学科的乐趣，是因为老师们也感受不到。
现实中，美国教师的门槛不高，中小学老师只是一种职业选择。特别是在接受政府补助的学校，大多数小学老师只有本科学历。
而且，由于美国大多学校在小学阶段实行全科教学，即一个老师上语言、数学、科学等所有课程，这些大学毕业生们的专业还不一定是数学。
“我接触到的相当一部分小学老师，都以为数学等于算数。”保罗说。
作为一名贯穿所有学段的老教师，保罗总结，教学最大的美德是热情和诚实。老师们应该展现作为人的自我，而不是教科书或者教育系统的代言人。
作为一个真实的人，他会好奇、会困惑、会承认自己的无知，不会永远知道答案，也因此会对学生的思考有更多耐心。
从这个意义上讲，名校博士进中小学，最大的意义不是更高的权威走进了课堂，而在于博士们见识过知识的浩瀚与不确定、触碰过学科的边界，这种经历往往让人更加谦虚。
把数学还给数学课，把真实还给教师。
躬身入局四十一年，保罗总结出这两个朴素的建议。看起来容易，但似乎很难做到。
“下一步准备做什么呢？”我问。
“写书。”
保罗说，教课只能影响很少一部分的学生，但是写书却能影响很多人。
现实中，我们很难遇到、或很难成为保罗这样的老师。但至少，我们可以诚实一些，承认教师和学校的边界，释放一些学生的时间，让他们读读保罗的书。