Bounding-Box regression

最近一直看检测有关的Paper, 从rcnn， fast rcnn, faster rcnn, yolo, r-fcn, ssd，到今年cvpr最新的yolo9000。这些paper中损失函数都包含了边框回归，除了rcnn详细介绍了，其他的paper都是一笔带过，或者直接引用rcnn就把损失函数写出来了。前三条网上解释比较多，后面的两条我看了很多paper，才得出这些结论。

为什么要边框回归？
什么是边框回归？
边框回归怎么做的？
边框回归为什么宽高，坐标会设计这种形式？
为什么边框回归只能微调，在离Ground Truth近的时候才能生效？

为什么要边框回归？

这里引用王斌师兄的理解，如下图所示：

对于上图，绿色的框表示Ground Truth, 红色的框为Selective Search提取的Region Proposal。那么即便红色的框被分类器识别为飞机，但是由于红色的框定位不准(IoU<0.5)，那么这张图相当于没有正确的检测出飞机。如果我们能对红色的框进行微调，使得经过微调后的窗口跟Ground Truth 更接近，这样岂不是定位会更准确。确实，Bounding-box regression 就是用来微调这个窗口的。

边框回归是什么？

继续借用师兄的理解：对于窗口一般使用四维向量(x,y,w,h)" role="presentation">(x,y,w,h)(x,y,w,h) 来表示，分别表示窗口的中心点坐标和宽高。对于图 2, 红色的框 P 代表原始的Proposal, 绿色的框 G 代表目标的 Ground Truth，我们的目标是寻找一种关系使得输入原始的窗口 P 经过映射得到一个跟真实窗口 G 更接近的回归窗口G^" role="presentation">G^G^。

边框回归的目的既是：给定(Px,Py,Pw,Ph)" role="presentation">(Px,Py,Pw,Ph)(Px,Py,Pw,Ph)寻找一种映射f" role="presentation">ff，使得f(Px,Py,Pw,Ph)=(Gx^,Gy^,Gw^,Gh^)" role="presentation">f(Px,Py,Pw,Ph)=(Gx^,Gy^,Gw^,Gh^)f(Px,Py,Pw,Ph)=(Gx^,Gy^,Gw^,Gh^) 并且(Gx^,Gy^,Gw^,Gh^)≈(Gx,Gy,Gw,Gh)" role="presentation">(Gx^,Gy^,Gw^,Gh^)≈(Gx,Gy,Gw,Gh)(Gx^,Gy^,Gw^,Gh^)≈(Gx,Gy,Gw,Gh)

边框回归怎么做的？

那么经过何种变换才能从图 2 中的窗口 P 变为窗口G^" role="presentation">G^G^呢？比较简单的思路就是: 平移+尺度放缩

先做平移(Δx,Δy)" role="presentation">(Δx,Δy)(Δx,Δy)， Δx=Pwdx(P),Δy=Phdy(P)" role="presentation">Δx=Pwdx(P),Δy=Phdy(P)Δx=Pwdx(P),Δy=Phdy(P) 这是R-CNN论文的：

G^x=Pwdx(P)+Px,(1)" role="presentation">G^x=Pwdx(P)+Px,(1)G^x=Pwdx(P)+Px,(1)
G^y=Phdy(P)+Py,(2)" role="presentation">G^y=Phdy(P)+Py,(2)G^y=Phdy(P)+Py,(2)
然后再做尺度缩放(Sw,Sh)" role="presentation">(Sw,Sh)(Sw,Sh), Sw=exp(dw(P)),Sh=exp(dh(P))" role="presentation">Sw=exp(dw(P)),Sh=exp(dh(P))Sw=exp(dw(P)),Sh=exp(dh(P)), 对应论文中：
G^w=Pwexp(dw(P)),(3)" role="presentation">G^w=Pwexp(dw(P)),(3)G^w=Pwexp(dw(P)),(3)
G^h=Phexp(dh(P)),(4)" role="presentation">G^h=Phexp(dh(P)),(4)G^h=Phexp(dh(P)),(4)

观察(1)-(4)我们发现，边框回归学习就是dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)" role="presentation">dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)这四个变换。下一步就是设计算法那得到这四个映射。

线性回归就是给定输入的特征向量 X, 学习一组参数 W, 使得经过线性回归后的值跟真实值 Y(Ground Truth)非常接近. 即Y≈WX" role="presentation">Y≈WXY≈WX 。那么 Bounding-box 中我们的输入以及输出分别是什么呢？

Input:

RegionProposal→P=(Px,Py,Pw,Ph)" role="presentation">RegionProposal→P=(Px,Py,Pw,Ph)RegionProposal→P=(Px,Py,Pw,Ph)，这个是什么？输入就是这四个数值吗？其实真正的输入是这个窗口对应的 CNN 特征，也就是 R-CNN 中的 Pool5 feature（特征向量）。 (注：训练阶段输入还包括 Ground Truth，也就是下边提到的t∗=(tx,ty,tw,th)" role="presentation">t∗=(tx,ty,tw,th)t∗=(tx,ty,tw,th))

Output:

需要进行的平移变换和尺度缩放 dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)" role="presentation">dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)，或者说是Δx,Δy,Sw,Sh" role="presentation">Δx,Δy,Sw,ShΔx,Δy,Sw,Sh 。我们的最终输出不应该是 Ground Truth 吗？是的，但是有了这四个变换我们就可以直接得到 Ground Truth，这里还有个问题，根据(1)~(4)我们可以知道， P 经过 dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)" role="presentation">dx(P),dy(P),dw(P),dh(P)dx(P),dy(P),dw(P),dh(P) 得到的并不是真实值 G，而是预测值G^" role="presentation">G^G^。的确，这四个值应该是经过 Ground Truth 和 Proposal 计算得到的真正需要的平移量(tx,ty)" role="presentation">(tx,ty)(tx,ty) 和尺度缩放(tw,th)" role="presentation">(tw,th)(tw,th) 。
这也就是 R-CNN 中的(6)~(9)：

tx=(Gx−Px)/Pw,(6)" role="presentation">tx=(Gx−Px)/Pw,(6)tx=(Gx−Px)/Pw,(6)

ty=(Gy−Py)/Ph,(7)" role="presentation">ty=(Gy−Py)/Ph,(7)ty=(Gy−Py)/Ph,(7)

tw=log⁡(Gw/Pw),(8)" role="presentation">tw=log(Gw/Pw),(8)tw=log⁡(Gw/Pw),(8)

th=log⁡(Gh/Ph),(9)" role="presentation">th=log(Gh/Ph),(9)th=log⁡(Gh/Ph),(9)

那么目标函数可以表示为 d∗(P)=w∗TΦ5(P)" role="presentation">d∗(P)=wT∗Φ5(P)d∗(P)=w∗TΦ5(P)， Φ5(P)" role="presentation">Φ5(P)Φ5(P)是输入 Proposal 的特征向量，w∗" role="presentation">w∗w∗是要学习的参数（*表示 x,y,w,h，也就是每一个变换对应一个目标函数） , d∗(P)" role="presentation">d∗(P)d∗(P) 是得到的预测值。我们要让预测值跟真实值t∗=(tx,ty,tw,th)" role="presentation">t∗=(tx,ty,tw,th)t∗=(tx,ty,tw,th)差距最小，得到损失函数为：

Loss=∑iN(t∗i−w^∗Tϕ5(Pi))2" role="presentation">Loss=∑iN(ti∗−w^T∗ϕ5(Pi))2Loss=∑iN(t∗i−w^∗Tϕ5(Pi))2

函数优化目标为：

W∗=argminw∗∑iN(t∗i−w^∗Tϕ5(Pi))2+λ||w^∗||2" role="presentation">W∗=argminw∗∑iN(ti∗−w^T∗ϕ5(Pi))2+λ||w^∗||2W∗=argminw∗∑iN(t∗i−w^∗Tϕ5(Pi))2+λ||w^∗||2

利用梯度下降法或者最小二乘法就可以得到 w∗" role="presentation">w∗w∗。

为什么宽高尺度会设计这种形式？

这边我重点解释一下为什么设计的tx,ty" role="presentation">tx,tytx,ty为什么除以宽高，为什么tw,th" role="presentation">tw,thtw,th会有log形式！！！

首先CNN具有尺度不变性，以图3为例：

x,y 坐标除以宽高

上图的两个人具有不同的尺度，因为他都是人，我们得到的特征相同。假设我们得到的特征为ϕ1,ϕ2" role="presentation">ϕ1,ϕ2ϕ1,ϕ2，那么一个完好的特征应该具备ϕ1=ϕ" role="presentation">ϕ1=ϕϕ1=ϕ。ok，如果我们直接学习坐标差值，以x坐标为例，xi,pi" role="presentation">xi,pixi,pi 分别代表第i个框的x坐标，学习到的映射为f" role="presentation">ff, f(ϕ1)=x1−p1" role="presentation">f(ϕ1)=x1−p1f(ϕ1)=x1−p1，同理f(ϕ2)=x2−p2" role="presentation">f(ϕ2)=x2−p2f(ϕ2)=x2−p2。从上图显而易见，x1−p1≠x2−p1" role="presentation">x1−p1≠x2−p1x1−p1≠x2−p1。也就是说同一个x对应多个y，这明显不满足函数的定义。边框回归学习的是回归函数，然而你的目标却不满足函数定义，当然学习不到什么。

宽高坐标Log形式

我们想要得到一个放缩的尺度，也就是说这里限制尺度必须大于0。我们学习的tw,th" role="presentation">tw,thtw,th怎么保证满足大于0呢？直观的想法就是EXP函数，如公式(3), (4)所示，那么反过来推导就是Log函数的来源了。

为什么IoU较大，认为是线性变换？

当输入的 Proposal 与 Ground Truth 相差较小时(RCNN 设置的是 IoU>0.6)，可以认为这种变换是一种线性变换，那么我们就可以用线性回归来建模对窗口进行微调，否则会导致训练的回归模型不 work（当 Proposal跟 GT 离得较远，就是复杂的非线性问题了，此时用线性回归建模显然不合理）。这里我来解释：

Log函数明显不满足线性函数，但是为什么当Proposal 和Ground Truth相差较小的时候，就可以认为是一种线性变换呢？大家还记得这个公式不？参看高数1。

limx=0log(1+x)=x" role="presentation">limx=0log(1+x)=xlimx=0log(1+x)=x

现在回过来看公式(8):

tw=log⁡(Gw/Pw)=log(Gw+Pw−PwPw)=log(1+Gw−PwPw)" role="presentation">tw=log(Gw/Pw)=log(Gw+Pw−PwPw)=log(1+Gw−PwPw)tw=log⁡(Gw/Pw)=log(Gw+Pw−PwPw)=log(1+Gw−PwPw)

当且仅当Gw−Pw" role="presentation">Gw−PwGw−Pw=0的时候，才会是线性函数，也就是宽度和高度必须近似相等。

对于IoU大于指定值这块，我并不认同作者的说法。我个人理解，只保证Region Proposal和Ground Truth的宽高相差不多就能满足回归条件。x,y位置到没有太多限制，这点我们从YOLOv2可以看出，原始的边框回归其实x，y的位置相对来说对很大的。这也是YOLOv2的改进地方。详情请参考我的博客YOLOv2。

总结

里面很多都是参考师兄在caffe社区的回答，本来不想重复打字的，但是美观的强迫症，让我手动把latex公式巴拉巴拉敲完，当然也为了让大家看起来顺眼。后面还有一些公式那块资料很少，是我在阅读paper+个人总结，不对的地方还请大家留言多多指正。

边框回归(Bounding Box Regression)详解