高斯绝妙定理——从高斯曲率说起

从数学发展的历史来看，微分几何几乎和微积分同时诞生，甚至可以说，微分几何还要早一些，因为在早期的微积分中，还存在很多来自几何的观念。我们都知道，古典的微分几何在高斯这里发展到了高峰，“内蕴几何”自此被提出此后。我们对微分几何有了全新的认识，被研究的几何对象不再被看作通常的欧式空间的一部分，而是它本身就是一个空间。高斯的“内蕴几何”后来被黎曼(毫无疑问，黎曼是高斯最杰出的学生)推广到任意维数的黎曼流形上，黎曼几何也就此诞生。而在这一微分几何发展过程中，“高斯绝妙定理”起到了关键的启示作用。那么，“高斯绝妙定理”到底是什么？它到底奇妙在哪里？

曲面基本形式

首先，我们考虑三维空间中的参数曲面，它可以用两个参数表示出来：

为了研究的简便，我们往往要假设坐标函数是参数的高次(一般大于二次)可微函数，而且沿两个参数方向的切向量ru和rv(也即分别对u和v求导所得)处处线性无关。这样的曲面具有良好的微分性质，一般称之为正则曲面。

有了参数表示后，就可以定义出一个曲面的“度量”，也就是第一基本形式：

Ⅰ=dr·dr.

其中dr指的是曲面r(u,v)的微分。再具体一点：

令E=ru·ru,F=ru·rv,G=rv·rv，

则Ⅰ=Edu²+2Fdudv+Gdv².

实际上，这就是曲面的黎曼度量。同时，第一基本形式也是曲面上最基本的一个内蕴量(也就是只与度量有关的量)，例如平面和圆柱面，它们的第一基本形式都是：

Ⅰ=dx²+dy²

也就是说，平面和柱面拥有相同的度量性质，但它们却是形状完全不同的曲面。相信很多人都在中学时候做过求圆柱面或者圆锥面上两点之间最短距离的数学问题，我们都知道，这种问题的解决方法就是将曲面展开为平面。但那时我们都想当然地把这种曲面可以展开为平面当成一种显然的事实，而实际上可以这样做的真正原因正在于从度量性质上来看，这些“可展曲面”和平面是没有区别的。关于这一点，接下来我们还会提及。

从上面的例子我们看到，曲面的第一基本形式并不能反映它们的形状，为了达到这种目的，还要考虑曲面的单位法向量n(由切向量ru,rv做向量外积而得)，为此，有了如下第二基本形式Ⅱ的定义：

令L=-ru·nu,M=-ru·nv=-rv·nu，N=-rv·nv

则Ⅱ=-dr·dn=

Ldu²+2Mdudv+Ndv².

此时，对于平面而言，其第二基本形式Ⅱ=0，而圆柱面Ⅱ=(-1/a)du²,其中a为横截圆的半径。可以看到，第二基本形式的确反应了它们形状的不同。实际上，我们可以证明：

在等距意义下，曲面由其两个基本形式完全决定.

高斯曲率

对于曲面而言，它沿其上不同曲线的弯曲程度一般是不同的，因而描述曲面的弯曲程度较曲线而言复杂许多。直观上，我们可以感觉到，曲面法向量的变化程度和弯曲程度是正相关的，例如平面和球面，前者的法向量是不变的，而后者法向量显然是在变化的。因此为了描述曲面弯曲程度的变化，需要考虑曲面法向量的变化，这也就有了“法曲率”的概念。定义沿曲线某点的法曲率为曲线的曲率向量在法向量上的投影，这样的曲线有切方向(du,dv),经过一番简单的计算，沿这个切方向的法曲率k恰好等于曲面的两个基本形式在点(u,v)的商，即

k=Ⅱ/Ⅰ=

(Ldu²+2Mdudv+Ndv²)/Edu²+2Fdudv+Gdv².

为了研究曲面的微分几何，高斯引入了“高斯映射”的概念。这个映射的定义是很简单的，只需把曲面在每一点的单位法向量平移到以原点为心的单位球面上。接下来，高斯映射的切映射将诱导两个切空间(由nu,nv构成的线性空间和相应球面切平面)之间的线性变换，而这个映射又被称为Weingarten映射。这里需要提到的是，考虑高斯映射的切映射而非高斯映射本身，这是数学中常见的思想，因为线性的东西总是更容易把握。

由线性代数的知识，Weingarten映射将产生两个特征值k1和k2，而实际上，它们恰好是在一点处法曲率的两个极值。定义：

平均曲率=(k1+k2)/2，

高斯曲率=k1·k2.

高斯绝妙定理

从定义可以看到，高斯曲率是利用曲面的两个基本形式定义出来的，那么它的数学意义到底是什么呢？首先我们可以观察到，前面我们提到的可展曲面，无论它们的形状如何，高斯曲率都是0，而且可以证明反过来也是正确的。那么我们就得到了一个非平凡的结果：

三维欧式空间中的(正则)曲面是可展曲面当且仅当它的高斯曲率处处为0.

从这个事实出发，我们似乎可以感觉到，高斯曲率和曲面的形状没有关系，而只与曲面的度量形式有关。伟大的高斯不仅注意到了这样的事实，而且更进一步，他证明了如下极其深刻的定理：

曲面的高斯曲率由第一基本形式完全决定！

显然，高斯本人对这个结果是相当满意的，并用“绝妙”一词来命名这个定理。对于古典的微分几何而言，高斯绝妙定理无疑是最重要的结果，它深刻地揭示曲面了的内在特征，并且让曲面单独成为一个空间成为可能，这使得我们对曲面的认识将不再依赖于它的外围空间。可以说，微分几何从此走上了“内蕴”的道路，面貌焕然一新。而自黎曼推广了高斯的内蕴几何思想以来，微分几何更是摆脱了古典框架的束缚，使得我们对空间的认识更加深刻。

最后我们还要对高斯曲率的几何意义再多说几句。很多地方都说高斯曲率是衡量曲面弯曲程度的，但严格来说，这并不准确，这从圆柱面和平面的高斯曲率都为0就可以知道。实际上，从前面的讨论(尤其是高斯绝妙定理)可知，高斯曲率衡量的是曲面的度量(也就是第一基本形式)，偏离标准度量(高斯曲率为0的度量，也就是Ⅰ=du²+dv²)的程度。例如我们简单地考虑在平面一点相切的球面，而半径为R的球面高斯曲率为1/R²,可以直观地看到，高斯曲率越大(半径越小)，与平面的偏离程度越大。(这个例子可能还不够好，因为还是没有脱离常规弯曲的几何直观，只是借此形象说明拥有不同大小高斯曲率的曲面之间的差别。)

关于高斯曲率，还有更为复杂的情形，那就是它为负数的情形，例如类似于薯片那种双曲面的形状。实际上，正负高斯曲率空间之间有着本质上的差别，但关于这些内容，在此就不再多说了。