基于理解的数学学习!!!
《基于理解的小学数学学习》
孔企平教授
研讨小学数学教学改革的实践问题，主要四个方面
一、首先要学习和理解数学课程标准
二、关于数学理解和数学理解的水平层
三、如何促进儿童数学理解的发展
四、如何通过数学理解促进儿童数学思维的发展
关注数学本质
关注儿童本位
关注核心素养
1️⃣理解核心素养
2️⃣理解课标改革的方向
3️⃣理解三维目标
4️⃣理解过程性学习
数学核心素养和新概念
2011年课标
🤸数感、运算能力
🤸符号意识、空间观念、数据分析观念
🤸几何直观、推理能力
🤸模型思想
🤸应用意识、创新能力
新修订课标需要加强研究一
🤤量感
🤨数量关系，
🤨尺规作图
🤨内容的整合（数与运算，图形的认识与测量的整合）
🤨跨学科综合实践
新修订课标需要加强研究二
🤰百分数的教学
🤰如何强化字母表示数的内容
🤰从一年级开始如何加强代数思维的训练
概括起来说新的研究热点
🤞创新意识、应用意识
🤞单元学习与教学
🤞模型意识和数量关系，空间意识
🤞代数思维
🤞综合实践、主题学习、跨学科学习
如何培养创新意识和应用意识
♣“四基”的理论↘（重要意义）
♣“四能”的提法↗
“四基”
●基础知识↘（我们的基础优势）
●基本技能↗
●基本数学思想↘（转变为核心素养和能力）
●基本活动经验↗
如何加强过程性学习？落实四能
◆发现问题的能力，
◆提出问题的能力
◆分析问题的能力
◆解决问题的能力
如何理解“解题练习”与
“解决问题”
解题练习：方法已知、寻求答案。
解决问题：方法未知、寻求方法。
寻求方法的过程，经历了知识的整合知识的重组。经历了一系列的策略尝试，有助于发展思维提高素养。解题练习，在于发展技能、技巧。这两种形式均有重要的教育价值。相互支撑构成一个统一的整体。
如何培养创新意识和应用意识
♣“四基”的理论↘（重要意义）
♣“四能”的提法↗
“四基”
●基础知识↘（我们的基础优势）
●基本技能↗
●基本数学思想↘（转变为核心素养和能力）
●基本活动经验↗
如何加强过程性学习？
落实四能
◆发现问题的能力，
◆提出问题的能力
◆分析问题的能力
◆解决问题的能力
如何理解“解题练习”与
“解决问题”
解题练习：方法已知、寻求答案。
解决问题：方法未知、寻求方法。
寻求方法的过程，经历了知识的整合知识的重组。经历了一系列的策略尝试，有助于发展思维提高素养。解题练习，在于发展技能、技巧。这两种形式均有重要的教育价值。相互支撑构成一个统一的整体。
如何理解三维目标
♥知识与技能↘
♥过程与方法→（ 构成一个整体）
♥情感与态度↗
★过程与方法强调问题解决与数学思考
强调在数学理解上的思考，数学理解是问题解决和数学思考的基础。教师上课不是为了让课上的好看，而是为了促进儿童数学理解，激发儿童的数学思维，发展儿童的数学核心素养。追求学习发生、发展、有所收获，把儿童学习发展放在第一位，就是儿童本位。上课要告别千万次的问，创造机会让儿童多思考、多探索、多发现。
▲数学思维在小学生数学学习和理解中具有重要作用，没有数学思维就没有真正的数学理解
▲数学学习不是被动的适应数学思维发展的现有水平，而是主动地促进数学思维的新发展将思维新发展的可能转变为现实
▲使学生根据已有事实进行数学推测论断和解释，养成推理有据的习惯
▲能够反思自己的思考过程
▲使学生能够理解他人的思考方式和推理过程
▲能与他人进行沟通
（李士琦）数学理解是指当新的知识结构被原有的认知网络接纳，与原先的知识结合在一起形成的新认知结构的过程，如何判断是否理解，说出理由。
如何形成数学理解
理解的分类
斯根普将数学理解分为：
♥工具性理解
♥关系性理解
✍工具性理解：是指知道事物或某一知识是什么，但是不知道为什么这样做。
✍关系性理解：既要知道事物或某一知识是什么，也要知道为什么（即如何得来的，如何运用的）说明或者证明这个知识。
数学理解的分层
层次 表现形式
表象理解 陈述知识，说明
理由，合情推断
解释理解 表达、解释、
举例 说明
建立联系 归纳总结、知识
网络化、构建联系
思想运用 建立模型、转化
应用思想
策略生成 解决问题、深层剖析
青浦数学教学改革经验
参照布鲁姆目标分类学，将教学目标分为四类：
一、知识与计算。
二、领会应用
三、综合与分析
四、评价
理解的三个水平：
在上面四个方面的基础上，顾泠元将数学目标划分为三个水平：
❖技艺水平
❖解释性理解水平
❖探究性理解水平
理解的四个层次：
顾泠沅提出数学教学目标分类四层次框架：
✪操作性记忆（对应计算类题目）
✪概念性记忆（对应数学概念的要求）
✪说明性理解（要求学生真正领会所学内容的本质）
✪探究性理解（要求学生具体情境中灵活运用所学内容）
基于理解的数学学习
✿理解是一个从记忆到解释，再到探究的过程。学生真正的理解意味着需要达到记忆性理解、解释性理解水平，并努力达到探究性理解阶段。
✿但教学现状却是本该让学生达到解释性理解水平的知识，学生仍停留在记忆知识的阶段，应该鼓励学生去自己探究的内容，却是通过教师的解释，或让学生记忆方法来实现的。
✿所以，读懂教材很重要，分析教参很关键。因为没有针对性的目标要求，所以教学效果堪忧，会降低了教材的要求，降低了学习的质量。
在教学中如何发展儿童的数学理解
一、让小学生对数学活动进行反思，理解数学的本质。
●需要更加重视“活动的内化”，加强对数学活动的反思，促进儿童生活经验的“数学化”，从而产生真正的数学思想。
●放手让学生自己参与活动很重要。在活动中才会产生真问题，引发真思考。
●在数学活动中理解数学概念，建立新数学概念与已有概念的联系。
二、从形象思维和抽象逻辑思维两种形式理解数学。
●低年级小学生更多具有的是具体的形象思维，到了中高年级，抽象逻辑思维的成分才逐渐加大。（画图列表等策略，从画有形之图到画无形之图一点点提高抽象思维水平。）
●小学阶段儿童的思维是一个具体形象思维和抽象逻辑思维同时获得发展的时期。并不是最后发展到只剩抽象思维，真正有创造性的人才，是两种思维协同发展、共同提高的。
三、促进学生创造性思维的发展。
●创造性思维是思维活动的高级过程，是在个人已有经验的基础上发现新事物、创造新方法、解决新问题的思维过程。
●创造性思维要求打破常规方式，综合已有经验，给出问题解决的新方法。
（课标反复强调问题解决的重要性，问题解决就是对方法的创新。一个新问题情境，如果没有老的方法支撑得以解决，现有方法也解决不了的，就需要形成一个新的方法，这个过程就是形成学生创新能力的重要步骤。在课标修订过程中反复强调了：以后可能会有10%的主题活动的跨学科的学习，目的是想让学生经历问题解决的过程，基于问题的理解，发展创新意识应用意识。）
●解决数学问题离不开学生的策略创造。
解决数学问题是发展学生创造性思维的重要举措，解决问题离不开策略创造，策略本身就是一个方法的选择。
●在小学数学课堂中，要激发学生的好奇心、求知欲和想象力，培养学生创造性的思维品质，发展学生独立解决问题的能力，培养学生的科学精神与人文精神，发展学生的探究、发现和初步的创造能力。以下是创造性解决问题的例子：
1.给几大行星排序 (略)
2.数杂乱堆放的小棒活动（略）
（不同的方法思维层次不同。方法不一样，思维的有序性和深刻性就不一样。所以方法多样，方法创造、有序培养创新思维很重要，解决问题的过程中，不仅要关注结果，更要关注过程。）
四、通过儿童数学理解，促进他们的身心全面发展。
●在良好的情感和认知环境下，学生数学思维会促进学生身心的积极发展。有大脑研究表明，思考时与之对应的区域会产生强烈反应。
●一方面，数学思维是促进学生心理品质提高的良好载体，包括增加自信心、意志力等。所以，数学思维培养具有德育价值。
●在数学思维的过程中，通过逻辑思维和空间思维的双向互动，学生的大脑得到很好的锻炼，有利于儿童大脑的健康发展。
如何结合教材中数学内容，
促进儿童数学理解和思维发展
教材内容：
数与代数、空间与几何、问题解决
结合教材内容发展儿童思维
♥在数学学习的过程中发展儿童整体化思维
♥在算术学习中发展儿童早期的代数思维，发展学生抽象概括的思维能力
♥在几何学习的过程中，要发展儿童早期的空间意识
♥在解决问题的过程中发展儿童早期的模型意识
儿童理解与思维
✦儿童早期的整体思维 → 以认知结构为重点
✦儿童早期的模型意识 → 以数量关系为重点
✦儿童早期的代数思维 → 以结构关系为重点
✦儿童早期的空间意识 → 以空间图形关系为重点
（建立模型的过程是实践和创新的过程，理解的重点不一样，早期的认知重点是形成结构，数学学习不应该是一个一个的点，而是要建立结构，有结构意味着理解，没有建立结构，意味着没有深入理解。）
整体化思维
❁知识单元是一个整体
❁知识单元这个整体以核心概念为统领
❁单元教学的思想
❁小学数学知识不是一个个孤立的知识点，而是有逻辑联系的整体结构
❁联系的过程就是推理的过程
教学中存在的问题
�过分强调碎片化的教学知识点
�强调孤立的解题技巧
�忽视数学的通性通法和对核心概念的深刻理解
�忽视知识之间的内在联系和转化
重点----核心概念
强调单元的核心概念
强调数学的通性通法，一个是概念性的，
一个是操作性的，抓住本质
概念的联系
数学知识的联系
数学方法的联系
一般知识与核心概念的联系
由学生自己建立联系，才称的上真正的理解。
例如：
◆数数与运算的联系-----数与累加。
◆整数、小数、分数---不是三类数，而是一类数，分数是核心概念
◆运算方法----加减乘除之间的联系。
认知结构
☎儿童学习数学不是孤立掌握一个个数学知识的过程
☎而是把数学知识与自己头脑中已有的知识体系建立实质性的联系，在头脑中形成一个数学内容和方法的体系的过程。
☎建立的联系越是紧密，他运用的能力就越高，兴趣就越浓厚，数学学习的质量就越高，所以建立联系，建立结构，就是深度理解。
例如：长方形-—-正方形-—-平行四边形的面积计算，看着是三个概念，但实质上他们是统一的概念，具有内在本质的联系，之所以这样安排，就是因为它的认知结构。
在算术教学中渗透早期的代数思维
★学生能够从许多特例中抽象归纳出一些 规律------一般化
★学生通过多元表征等方式，最后能够用简练的符号语言来表示，数学关系------符号化
★学生能够在许多现象中看到问题的本质，逐步发展儿童简约化的思维方式-------简约化
早期代数思想的渗透
♔关系性思维。等号不仅仅是运算符号，还是个相等关系的符号
♔符号表征
♔发现规律
♔函数思维 → 变量思维
↘对应思维
数量关系
让儿童经历概括实践问题解决中的一般方法和规律，发展儿童的模型意识。
符号意识
●符号意识的发展是一个数学抽象进一步发展的过程，从数量抽象到数是一次抽象，用字母表示数则是理性的抽象
●符号化的过程蕴含着重要的价值，需要结构化的数学设计，用更长的时间来帮助学生感悟
数学建模
根据实际问题，运用数学的方法和语言构建的科学或技术的模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题。
儿童如何建模
通过图形建模
具象化-----形象化-----抽象化。根据布鲁纳的理论。C-P-A
儿童模型意识的发展
❖儿童的数学模型具有多样性---语言、图画、符号
❖儿童的数学模型具有直观的特点
❖图画是发展儿童模型意识的重要路径----直观图和线段图等等
❖线段图所表达的数量关系就是儿童数学模型
❖培养儿童早期建模能力，需要锻炼儿童从问题情境中抽象出数量关系，并用多种表征方式描述不同数量之间的关系。
例如：主题活动之餐桌能坐多少人？
❖儿童建模思维有九种水平（实属看不清
等待查阅资料吧）
结 语
空间观念（略）。
现代脑功能研究成果表明空间观念形成的重要基础是视觉表象，空间观念对儿童创造力发展有极其重要的作用，必须重视。
通过数学理解发展学生三种基本的思想方法--------抽象、推理、建模，发展学生数学思维，培养学生核心素养，更好的落实课标的一些理念。
改变！如春天般散发
着生命的气息
《小学数学课程标准2021年修订版的大致变化》
一、数学核心素养是什么？
数学核心素养：是具有数学基本特征的关键能力、思维品质以及情感、态度与价值观的综合体现；是数学教育的与人的行为有关（思维、做事）的终极目标；是学生在本人参与其中的数学教学活动中逐步形成和发展的；对于数学教育具有一致性、发展性（小学、初中、高中、大学）。数学核心素养的总体表现：
会用数学的眼光观察现实世界（数学抽象）（数学的一般性）。
会用数学的思维思考现实世界（逻辑推理）（数学的严谨性）。
会用数学的语言表达现实世界（数学模型）（应用的广泛性）。
数学核心素养具有一致性、发展性的特征，低学段更具体、更侧重意识；高学段更一般，更侧重能力。
二、数学核心素养在不同学段的表现是怎样的？
数学核心素养表现：
高中6个、初中7个、小学9个+应用意识、创新意识。
高中6个：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学计算、数学建模、数据分析
初中7个：抽象意识、空间观念、几何直观、推理能力、运算能力、模型思想、数据观念
小学9个：符号意识、数感、量 感、空间意识、几何直观、推理意识、运算能力、模型意识、数据意识、再加应用意识、创新意识
三、学段与课程内容结构有什么变化？
（一）学段变化
将小学分为三个学段：
第一学段（1~2年级）、
第二学段（3~4年级）、
第三学段（5~6年级）。
（二）课程内容结构变化
1、四个内容领域不变。
2、领域下设主题。
主题有变化：
（1）增加：数量关系。
（2）整合：数与运算、图形的认识与测量。
（3）调整：常见的量调整到综合与实践。
（4）改进：综合与实践以跨学科为主，以主题活动的方式安排。每学期内容不少于10%，大概为8个课时。要求学习方式的转变。
3、具体内容变化。
（1）百分数移到统计。
（2）把负数、方程、反比例移到初中。
（3）强化字母表示数的内容。
（4）从一年级开始加强代数思维的训练。
附录：史宁中教授的金句
小学生学习数学的目的是什么？小学的那点数学知识，即使不学，到初中一年也就补回来了。小学关键是要教孩子们想问题，学完以后对数学有感觉。
教材要把所学内容的数学本质是什么、它关联的核心素养是什么讲明白。
现在课程内容修改后，小学数学学习可以省出一年时间。这一年时间用来做什么？让孩子们想问题，学会提出有意义的问题。要想尽一切办法，让学生悟出来。
数学最终必须要舍去背景，得到一般的东西。数学学习是一个从实例出发，不断舍去背景的过程。