数学之美的两种形式，发现宇宙深处的奥秘

在数学界有一个由来已久的做法，那就是把该领域一分为二。有一种传统的“应用vs纯理论”的争论，这反映了其他学科的实验—理论的分歧，把知识推向一个特定的目标和为了自身目的而去做它之间的紧张关系。或者，我们可以像分割大脑一样分割数学，用代数的“左脑”按逻辑顺序思考，用几何的“右脑”以更直观的方式思考。但这个领域也根据一个更微妙的区别而细分：一个人在两种数学美之间的偏好。

首先，对于非数学专业人士来说，很难把数学看成是美的。当然，美在观者的眼中，但当数学艺术隐藏在黑暗中，被难以穿透的符号和术语所遮蔽时，也很难看清。试图欣赏数学而不了解其内在的工作原理，就像读贝多芬第五交响曲的描述而不是听它。

然而，数学家们对于认真地描述他们的方程和证明，认为它们是美丽的。这是一种被证明非常普遍的审美，存在于不同的文化和时代：一个巴比伦的数学家和一个现代学生可以在研究平面几何中的完美线条排列或解一个二次方程中找到同样的乐趣。

粗略地说，数学之美有两种形式，一般的和特殊的。

第一种美是一种缥缈的美，体现在形式结构和模式上。这是一种对数学世界不可阻挡的秩序的惊奇感。想想这些自然数在无限行中是多么美。或者考虑增加维数的欧氏空间序列：一条线，一个平面，一个空间，等等。或者形式逻辑本身的严谨性和精确性。这些结构是难以置信的强大和有用的，而且从某种角度来看确实是美丽的。

但对于大多数人，当然也包括大多数非数学家，很难对n维向量空间的概念或实线上的连续函数感到真正兴奋。欣赏这些想法就是欣赏一种抽象的形式，而这种美感常常让人感觉冷冰冰的、形式化的。

数学之美的第二种形式更有关联性。它涉及规则的例外，不属于任何更大类别的对象。这些是珍奇之物是17、18世纪充满自然历史陈列柜的迷人化石和奇怪矿物的数学化身。这种美给人一种非常不同的感觉：它充满异国情调、奇特、亲切——当然，也相当主观。

举例来说，考虑一下十二面体，它是许多数学宝库中最受欢迎的物件。它是由12个五边形组成的正立方体，它是五个完全对称的固体之一。十二面体作为神秘事物的象征有着悠久的历史，可以追溯到古希腊，当时柏拉图提出了五种物体（现在被称为柏拉图立体）和物理宇宙之间的联系。

十二面体象征着所有的天体——恒星和行星，每一个在形状和运动上都是完美的。从那时起，这种数学形式就代表了外星人，它也成为炼金术士和占星家喜爱的符号。从现代数学的角度来看，它仍然被认为是例外的，它是少数完全独立的对称物体之一，不属于任何更大的图案的一部分。例如，将一个立方体或四面体推广到任意维度的类似对象是很容易的，但是没有高维的类似十二面体的东西。

另一种数学上的例外，被称为怪物。它是最大的“建筑块”，其中所有的对称群可以构建，一个数学上的怪物，只能在不少于196,883维的空间里被想象出来。根据你的喜好，怪物群要么是所有数学中最漂亮的，要么是最难看的。

多年来，这两种美都令数学家们着迷，并带来了许多进步。抽象显然是一种强大的工具。它允许一个人同时处理一个群组的所有成员，它把问题放在一个更广阔的视角。追随“冰皇后”的数学家通常不喜欢具体的应用或具体的例子——抽象代数大师之一亚历山大·格罗森迪克曾以57作为质数的例子而闻名。对数学上的弃儿的迷恋也是一种富有成效的策略。这样的对象通常生活在多个想法的交叉点，可以作为一个接入点之间的完全不同的世界。这种风格的狂热者不喜欢“抽象的胡言乱语”，而是珍视具体情况的特性。

但现实世界与理想的数学世界是截然不同的。大多数科学都与描述真实世界的宇宙联系在一起，但这只是无数数学可能性中的一种。据报道，让-皮埃尔·塞尔对他的数学家同事拉乌尔·博特打趣说：“当其他科学在寻找上帝为这个宇宙选择的规则时，我们数学家在寻找连上帝都必须遵守的规则。”

面对这个存在主义的问题——宇宙实际上遵循的是什么定律？但科学已经告诉我们，数学之美的抽象而严峻的形式往往能提供一个更安全的长期选择。

在天文学家约翰内斯·开普勒的早期研究中，柏拉图立体的出现就是一个著名的证明。他提出了一种基于行星轨道之间的距离的太阳系模型，该模型基于五个固体的特定构型。这是一个美好的想法，但注定要失败。后来，开普勒自己否定了这个模型，因为他得出结论说，行星的轨道并没有形成一个完美的圆，而是有一个丑陋的椭圆，它可以是各种形状中的一种。这似乎是绝对的倒退。他把这一发现比作被遗弃在肮脏的科学马厩里的一辆“装满粪肥的马车”。

但是，当开普勒最初被他对特殊物体的偏爱引入歧途时，艾萨克·牛顿根据他的万有引力理论继续解释行星的椭圆轨道。事实上，他展示了所有的天体运动都是圆、椭圆、双曲线和抛物线。美在于牛顿的抽象定律，而不是具体的解。

这是物理学家和科学家们已经学过很多次的经验教训。在19世纪，科学家们从抽象数学转向了对自然世界更系统的研究。生物学家开始收集一组生物的所有标本，而不仅仅是最美丽的蝴蝶或鸟类，并发现了进化论。化学家对所有元素进行了分类，超越了简单的银和金，并在这个过程中揭示了周期表的模式。物理学家随后揭示了隐藏在这些元素原子中的基本粒子的对称性。

每次，他们都发现宇宙之美在于物理现象背后的抽象结构。一开始，这些结构可能会让人感到困惑，难以理解，但从长远来看往往更有效、更有意义。而且，的确，更美。