强大的数学工具：不变量，捕捉数学对象的本质

当丽莎·皮克西里洛解开了关于“康威结”的这个长达几十年的数学难题时，她必须克服这个结的神秘能力——它能欺骗数学家们设计的一些最强大的工具。这些工具被称为不变量，它不仅是纽结理论的支柱，也是许多数学领域的支柱，提取数学对象的基本特征，并检测两个对象是否在本质上不同。

顾名思义，不变属性是一种不会随着对象的非本质特性的改变而改变的属性（在这里，“非本质”指的是在特定上下文中你需要它做的任何事情）。不变量是物体固有性质的升华，通常以单个数字的形式出现。

以拓扑学为例，想象用拉伸网覆盖一个球，将表面分割成三角形和矩形等形状。当然，形状的数量将取决于你使用的网，以及边角的数量。但数学家在几个世纪前就发现，这三个数字的某种组合总是相同的，即形状的数量加上角的数量减去边的数量。

例如，如果你的网将球体分割成一个四面体（有四个三角形、四个角和六个边），那么这个数字就是4 + 4−6 = 2。如果你的网变成了一个足球的图案（总共有32个六边形和五边形，60个角和90个边），你再次得到32 + 60 - 90 = 2。在某种意义上，数字2是球形的一个固有特征。这个数字（称为球体的欧拉特性）不会因拉伸或扭曲球体而改变，因此它就是数学家们所说的拓扑不变量。

如果你用网绕着甜甜圈的表面，你总是会得到一个0的欧拉特性。在有两个洞的甜甜圈上，你将得到的是- 2。曲面的欧拉特性属于一系列不变量，允许数学家探索更高维度的形状。它可以帮助拓扑学家区分两种难以形象化的形状，因为如果它们具有不同的欧拉特征，它们就不可能是相同的拓扑形状。

不变量还被用于研究15-拼图（15-puzzle），这是一种经典的玩具，由编号为1到15的正方形滑块组成，你可以在一个4×4的网格中滑动。我们的目标是从第一行开始，从左到右按照数字顺序排列混乱的滑块。如果你想知道某个排列是否可解，有一个不变量可以给出答案。它根据两个数的和输出“偶数”或“奇数”：将空白滑块移到右下角所需的滑块数和按相反数字顺序排列的平铺对数（空白正方形代表滑块16）。

每当你将一块滑块滑入空的正方形时，这两个数字都会切换奇偶性。所以它们的和的奇偶性永远不会改变，这意味着它是滑动过程的一个不变量。对于解出的构型，这个不变量是偶数，因为两个数都是零。所以任何奇不变性的构型都是完全没有希望的。

在结理论上，区分结是一项棘手的事情，因为你可以通过仅移环线来使结无法识别（数学家认为结是在闭合的环路中出现的，而不是在开放的环路中，所以它们不能被解开）。在这里，不变量是必不可少的，数学家已经提出了几十个，提取不同的特点的结。但是这些不变量有盲点。

举个例子，一个叫做三色性的不变量。一个结图是三色的（如果有一种方法给它的线涂上红色，蓝色和绿色），这样在每一个交叉点，三条线相交的时候要么是相同的颜色要么是不同的颜色。数学家已经证明，即使你移动一个结的线，它的三色性是不变的。换句话说，三色性是一个结的固有特征。

三叉结称为三叶草，是三色的。但是“解结”（一种没有实际打结的环，即使看起来是缠绕在一起的）不是三色的，这立即证明了三叶不只是伪结。虽然三色性让我们能够区分一些结和伪结，但这并不是一个完美的工具，可以三色的结肯定会打结，但不能三色的结也会打结。例如，八字形结不是三色的，但实际上是打结的。这个结落入了三色性的盲点。

康威结是50多年前由约翰·霍顿·康威发明的一种有11个交叉的结，它非常善于欺骗结的不变量，尤其是那些用来检测皮西里罗感兴趣的结，即“切片”。切片的意思是这个结是四维空间中光滑但打结的球体的一部分。

莱斯大学的谢利·哈维说：“每当有新的不变式出现，人们就会关注康威结上发生了什么。”到目前为止，康威结已经陷入了每个数学家研究切片的盲点。

当皮西里洛最终成功地证明康威结不是“切片”时，她不是通过设计一个新的不变量，而是通过找到一种巧妙的方法来利用现有的拉斯穆森不变量。康威结“戏弄”了这个不变量和其他变量。但是在她的论文中，皮西里罗想出了一个不同的结，她可以证明这个结和康威结有着同样的地位。对于这个新的结，拉斯穆森不变量证明了它不是切片。因此，康威结也不能切片。

拉斯穆森不变量是最近几十年发现的一系列与物理相关的节不变量之一。波士顿学院的格雷斯比说，数学家们花了好长一段时间来理解这些不变量的作用。