正三角形中的手拉手模型

我们常常会遇到这样的问题:问题的背景是正三角形,然后又会出现一个正三角形绕着原正三角旋转,这时往往会出现全等三角形,从而出现等角或等线段。我们形象地将这两个等边三角形称为“手拉手三角形”。
如上图所示,手拉手三角形不仅仅存在与共顶点等边三角形中,只要两个图形(正三角形、正方形、等腰直角三角形、等腰三角形)是“相似”的,即对应边成比例,对应角相等,那么联结对应顶点,就会出现全等三角形。
解法分析:本题中的▲ABC和▲COD是共顶点的相似的“手拉手”等边三角形,由此产生了一组全等三角形,即▲BOC≌▲ADC,由此可以用含α的代数式表示出∠OAD、∠ADO的度数,继而达到①判定▲AOD的形状;②判定▲AOD是等腰三角形(从角出发分类讨论:∠OAD=∠AOD,∠OAD=∠ADO,∠AOD=∠ADO)。
链接:等腰三角形的存在性问题讨论
(根据已知条件,确定到底是从角出发分类讨论还是从边出发分类讨论)
解法分析:本题中的▲OAB和▲CBD是共顶点的相似的“手拉手”等边三角形,由此产生了一组全等三角形,即▲BOC≌▲ABD,由这组全等三角形,得到∠BAD=∠AOB,可以得到∠CAD的度数。由于OC>1,则▲EAC为钝角三角形,若▲EAC为等腰三角形,有且仅有EA=AC的情况,而∠EAO=60°,因此得到EA=2。
解法分析:本题中的▲ABC和▲MDN虽然不是共顶点的等边三角形,但是联结DE、DF、EF后,即可将▲ABC分割成4个全等的等边三角形,由此可以得到一组全等三角形,即:▲DNE≌▲DMF,利用全等三角形对应角相等,得到∠DEC=∠DFN=60°,从而说明点F在线段EN上。第2、第3问中,虽然点M在线段BC或线段BC延长线上,但是仍旧有▲DNE≌▲DMF,线段间的等量关系依旧存在。再次说明了不论点在线段或其延长线上,辅助线的添加方法或解法思路是完全一致的。
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