邹生书：高考热点——数列中的存在项问题 / 四六文摘

高考热点——数列中的存在项问题

湖北省阳新县高级中学 邹生书

新课程标准指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式”。自主探究是以问题为导向，使学生从数学学习材料中发现问题、分析问题和解决问题，从而形成探究能力。现在高考和模拟考加强了对探究能力的考查力度，数列中存在项项问题，三项成等差数列的存在性问题等是数列中的热点考题，是考查考生探究能力的素材。这类问题在考查等差等比数列有关知识的同时，重点考查探索问题的能力以及数与式的整除性，问题综合性强对运算求解能力和探索存在性问题能力有一定的要求。

存在性探索问题的考查，在一个题目中往往是最后一问，为了问题的完整性和资料性，本文保留原题各问，解答时只对存在性探索部分进行解析。

【评注】 本解法假设中构成等差数列三项的设法很有特色也具有一般性，存在性判断中用到了奇偶分析法，这些都是解决这类问题的常用方法。

例3（2011年高考湖北卷理科第19题）

【评注】 本题是一道存性与任意性兼容的试题，已知的是：存在k∈N^*,使得S_K+1,S_K,S_K+2成等差数列，要判断的是：对任意的m∈N^*,，且m≥2，a_m+1,a_m,a_m+2是否成等差数列。由于结论的不确定性，解题过程是一个推理论证和思辨的过程，也具有探究的成分。

例4（2012年江西省八校四月联考理科第19题）

【点评】本题最容易出现的错误是：在第一问求数列{a_n}的通项公式时，由于没有关注等式a=(1+λ)/λ·a_n+1成立的范围，误认为数列{a_n}是从第一项开始的等比数列，第一问解答出错而导致第二问题错中错，造成错误累加。另外，在第2问假设存在的三项a₁中是否包括首项需要分类讨论，这也是最容易忽视的。