挑战压轴题：中考数学-四边形

今天这道题等于是两问证明题，既然是压轴题，肯定会有一定的难度，那么先看题吧。

AG和CF相等，如果不看题干，只看图形的话，很像是AG旋转之后变为CF，那么对于旋转图形来说，肯定第一想起的就是全等了，那么再回到这道题中，很明显的两个三角形△AGD和△CFD，而且都含有一个正方形的边长，这不就是证明它俩全等的引导吗？

（1）DF⊥DG，90°角，同时还有∠ADE=90°，所以∠ADG=∠CDF吧；

然后AD=DC，这才一个角一条边了，还差一个条件，显然不可能是边，

那么只可能是另一个角相等了，

CF⊥AE有什么用？创造90°角，同时有个对顶角∠AED=∠CEF，∠ADE和∠CFE都是直角，所以∠DAE=∠DCF，现在条件充足，可以全等了；

全等之后，AG=CF；

（2）第二问，BG⊥AE，取中点H，

给大家补充了另一个图，EH和DB的关系，看着图中EH好像是中位线，但是怎么能让E也变成中点呢？

∠BGA是直角了，∠ADE也是直角，但是很明△ADB和△ADE不可能全等，那么该怎么办呢？既然我们要证明全等，是不是延长BG和AD相交于K呢？相信很多同学都会这么想，那么即使接下来全等之后AK=DE了，可是还是没有中点呀，又该怎么办呢？（如下图）

每当没有思路的时候，老师建议大家要好好地分析题中的条件和前面问题中出现的已知条件。既然上一问中我们利用了两个三角形的全等，那么全等之后得到的条件是否也能用上呢？

根据第一问可得DG=DF，同时它俩还垂直，等腰直角吧？

而一般来说，第一问的结论很有可能会用得上，那么AG=CF又能干啥呢？

我们既然要得到E是DC的中点，不知道有没有同学注意到CF⊥AF这个条件，假设E就是DC中点的话，我们在D这里向AF做一个垂线怎么样？

如果E是DC中点的话，绝对会有△DKE≌△CFE，，再倒过来想，如果它俩能够全等，不就可以得到中点E了吗？现在它们都有直角，还有对顶角，就差一条边了，既然都有垂线，DK和CF是否能相等呢？

这个时候，我们再回过头来看△ABG，正方形的边是它的斜边，那刚才咱们创造的△DAK不是也有一个正方形的边吗，也是斜边，它俩不是长得一样吗？

根据它俩都有直角，可以得到∠DAK+∠BAF=90°=∠ABG+∠BAF，∴∠DAK=∠ABG，两个角相等，还有一条边相等，条件足够了，全等；

然后AG=DK，

那么这个时候我们看第一问的证明结果，AG=CF，

现在可以得到DK=CF了，

接下来再全等吧，△DKE≌△CFE，

然后DE=CE，

现在E是DC中点了，所以EH就是△BCD的中位线了，

那么位置关系和数量关系就都知道了。

说到这，不得不多说一句，有些同学在遇到位置关系和数量关系的时候分不清楚什么意思，所以有必要给这些同学提示一下。

常问的位置关系主要是垂直和平行，然后数量关系要么相等，要么有倍数关系，或者多个线段间存在等式关系，所以就是这两种内容。

在解答的时候要看清楚，位置关系和数量关系是两回事，一定要回答完整，不要漏掉其中一项。