八上21讲 期末复习3 将军饮马所有模型及变式——终极篇
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前面
窗外银装素裹,虽然停课了,但是期末复习还是要进行的.加油,最后几天在家冲刺,你一定能行!将军饮马,这是笔者第三次写了,本讲会将本学期所有遇到的11个模型全部罗列,让大家举一反三,不再见题神伤!
一、模型展现
(1)直线型
模型1:在直线l上求作点P,使PA+PB最小.
原理:两点之间,线段最短.PA+PB最小值即为AB长.
模型2:在直线l上求作点P,使PA+PB最小.
原理:和最小,同侧转异侧.两点之间,线段最短.
模型3:在直线l上求作点P,使|PA-PB|最大.
原理:两边之差小于第三边,|PA-PB|最大值即为AB长.
模型4:在直线l上求作点P,使|PA-PB|最大.
原理:差最大,异侧转同侧.两边之差小于第三边.
变式:在直线l上求作点P,使l平分∠APB,与此作法相同.
模型5:在直线l上求作点P,使|PA-PB|最小.
原理:|PA-PB|最小为0,中垂线上的点到线段两端的距离相等.
(2)角型
模型6:在OA,OB上求作点M,N,使△PMN周长最小.
原理:作两次对称,两点之间,线段最短.
模型7:在OA,OB上求作点M,N,使四边形PQMN周长最小.
原理:P,Q分别作对称,两点之间,线段最短.
模型8:在OA,OB上求作点M,N,
(1)使PM+MN最小.
(2)使PN+MN最小.
原理:先连哪个点,就先做关于那个点所在射线的对称点.垂线段最短.
模型9:P,Q为OA,OB的定点,在OA,OB上求作点M,N,使PN+NM+MQ最小.
原理:两点之间,线段最短,PN+NM+MQ最小值即为P’Q’的长.
(3)平移型
模型10:在直线l上求作点M,N,使MN=a,且AM+MN+NB最小.
原理:将l上的MN转化到B’B.(问题情境:将军从军营A出发,去河边l饮马,饮马完在河边牵马散步a米,回军营B.可以转化为饮完马,直接去军营B,在到达之前散步.)
模型11(造桥选址):
直线l1∥l2,在l1上求作点M,在l2上求作点N,使MN⊥l1,且AM+MN+NB最小.
原理:
将MN转化为AA’.(可以理解为在A处先走过桥的路,再直达点B.)
二、典型例题
例1:(模型2)
从点A(0,2)发出的一束光线,经x轴反射,过点B(4,3),求从点A到点B所经过的路径长.
解析:
例2:(模型4)
已知点A(1,3)、B(3,-1),点M在x轴上,当AM-BM最大时,点M的坐标为______
解析:
例3:(模型10)
如图,当四边形PABN的周长最小时,a=______
解析:
例4:(模型11)
解析:
例5:(结合勾股)
如图,在等边△ABC中,AB=6,N为AB上一点,且AN=2,∠BAC的平分线交BC于点D,M是AD上的动点,连结BM、MN,则BM+MN的最小值是_____
解析:
小结:
所有类型已归纳完,更多内容,详见
本讲思考题:
已知点A(-3,-4)和B(-2,1).
(1)试在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小
(2)试在y轴上求一点P,使|QA-QB|的值最大
(3)若C(0,m),D(0,m-2),当m为何值时,
四边形ABCD的周长最小.
答案:(1) P (0,-1)
(2) Q (0,11)
(3) m = -0.2
END
如
何
关
注