一道正方形内含半角模型问题分析

【题目】

如图，点G、H为正方形ABCD外接圆上的两个点，∠GAH=45°，GA与HA分别交BC、CD于点E、F，求证：EF∥GH。

【分析】

观察图形，证明两线平行考虑利用平行线的判定方法，

也就是考虑证明一组同位角、内错角或同旁内角的关系进行证明。

由于我们之前有做过正方形内含45°的问题。如下图所示：

如果∠EAF=45°，那么我们可以证明EF=BE+DF。

当然，反过来，如果EF=BE+DF，我们可以得到∠EAF=45°。

证明的方法就是截长补短，或者旋转的方式，构造全等。

很容易可以得到∠AEB=∠AEF，∠AFE=∠AFD。

有了上面这样的的内容，那么我们只需证明∠G=∠AEB即可得到∠G=∠AEF，然后得到EF∥GH。

那怎么证明∠G=∠AEB呢？

还是需要再等量代换下，根据平行线的性质，可以得到∠DAE=∠AEB，

也就是说我们只需证明∠G=∠DAE即可。

在圆内我们就会联想到弦弧角的关系（圆心角定理）以及圆周角定理等等。

∠DAE所对的弦是DG，因此可以考虑构造辅助线，连接DG。

那怎么证明DG=AH呢？

可以考虑构造全等三角形的方式，比如连接GC。可以得到一对三角形全等。

那么再逆推回来，就可以得到结论了。

如上图，当然也可以证明三角形AGH全等于三角形CAD，得到DG于AH是相等。

当然，也可以连接BD，然后得到上面的3个绿色角是相等的，即∠AGD=∠ABD=∠GAH，那么得到线段AH=DG。还可以得到三角形MAG是等腰直角三角形。

然后就可以得到结论了。

以及，还可以得到5个红色的角是相等的，然后证明EF=GH等等。

本题咋一看似乎无从入手。但是角度的问题，在圆里面，常常考虑用圆周角定理或者圆心角定理进行转化。

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