例谈函数单调性的证明

单调性这个称谓是学生上高中才开始接触的，但事实上在初中就有所涉猎，那时它的名字叫增减性。我们研究函数，研究函数的定义域（自变量的取值范围）、对应法则、值域（函数值的取值范围），借助函数的图象研究函数的单调性（增减性）、奇偶性（对称性）、周期性、最值性等，同时也研究函数与方程、不等式的关系，借助函数模型来研究解决实际问题……函数问题涉及面广，贯穿中学数学始终！

今天借两个例子谈谈抽象函数单调性的证明，这也是刚进入高中阶段的孩子们容易出现问题的地方。

例

分析：抽象函数判定单调性通常是用的定义，即对定义域内任意x₁<x₂，来判断f(x₁)与f(x₂)的大小关系。这样的大小关系可以依据差比，商比等方式得出，具体要看题目所给的条件。

此外，一般而言，我们可以利用给出的抽象函数的关系，对x、y进行赋值，求出某些特殊的函数值。例如本题，我们可以令x=y=0，这样很容易得出f(0)=0，再令y=-x，则第一问就得证！事实上，我们学完会发现，这是个奇函数模型。

下面是证明单调性的问题。我们用定义来证明，充分运用所给条件。

例

分析：此题与例1类似，只是在单调性的判定上具有一定的技巧性。

以上两例作为引子，同学们在学习是要多总结和反思，做到灵活运用。