“数学画”科普：简单的深刻

今天看到一道数学题，发在工作室群，同时把我画图解答过程拍照一并上传——

来自宝岛台湾小学六年级的一道数学题，你会解答吗？——师父对徒弟说：我在你这年纪时你才5岁，但你到我这年纪时，我就71岁了！请问：徒弟几岁？师父几岁？



老师们也有自己的解答，大多用到了画图。董晓梅老师提出给孩子们试试；刘珊珊老师上传了自己的画图解答过程。







于是，我提出要大家比较我和刘老师所画图的不同。老师们各抒己见，大体get到了两幅图的主要差异。





在此基础上，我抛出我对于“数学画”的一些思考，借这样的讨论机会，也是共同学习达成学习共同体内部的理念沟通：



我的大段文字如下：

（这个问题）里面颇有学问！

1.我的图体现了“数学画”在辅助问题解决中的作用，而刘珊珊的图更多只是画出思考结果。我的图有“探索”的过程，思维可视化；刘珊珊的图是把思维结果表征出来。

2.就本问题而言，关键点是71岁与5岁这两个具体条件之间的内在联系，即存在相差3个年龄差的关系，只要这层关系明白了，问题就迎刃而解了。而怎样找出这层关系无疑是难点所在，怎么找？画图表征问题（主要指条件）过程中寻找！我的图就是把寻找的过程呈现出来了。而刘珊珊主要是凭借较好的逻辑推理能力找到了数量关系，再画出来，其实不用画图她也能解决的。也就是说当学生没有对问题感觉困难时，画图体现不出其作用和价值，当他们遇到困惑时，画图可以帮助他们。

3.推而广之，遇到困难能帮助学生的不止画图，也可以是代数思维方式，引入未知数参与思考，用含未知数的式子表征数量关系也能较容易发现解决之道——从这个意义上说，画图的作用已经达到了升级思维的水平啊 ！

在第一块转头劈来之前，补充一句：而与代数思维比较，画图是简单的，又不是简单的简单，画图其实不简单，我无以言表，就用了“简单的深刻”来一言以蔽之。



晚上快十点半，刘珊珊老师操起砖头拍过来，还挺响亮，拍得很好！

刘珊珊老师的解释文字如下：

我的思维过程是，先画出师傅比徒弟大的a，然后根据第一句话在徒弟那栏截出a，找到5,再根据第二句话在师傅后面添了a，然后根据图容易发现5+3a=71，不是一眼看出3倍的关系，只是直觉告诉我，本题的关键是师傅比徒弟大的岁数是关键，因为觉的绕的的本质就是这个。我在你这年纪时你才5岁，（翻译过来，就是a年前，你5岁）但你到我这年纪时，我就71岁了（a年后，我71岁）我这样理解这两句话的，然后画图辅助解决问题的，还真不是用图来说明问题，第一反应没想到二元一次方程组，不过后来用二元一次方程组验证结果了。

刘老师的砖头让我想起“数学画”作品批阅和展评中“读懂学生”的问题，尽管图画已经将学生的思维不同程度地可视化，但要读懂每一位学生仍然存在困难，误读时有发生。以刘老师的画为例，我们的误读多半因为没有看懂，而没看懂多半因为思维的动态变化与图画的静态呈现之间的差异——说到这里，其实已经涉及“数学画”的画图过程与结果、“数学画”的展评方式等话题。

索性深入一下。我们认为画图是一种操作活动，因为像所有的操作一样，画图也存在先后次序问题，总是先画什么再画什么最后画什么，它有次序，不可能一幅作品一下子同时呈现。这个过程需要同时观察，最后呈现的往往是最后的状态，只是一个结果，如刘珊珊的画。

从这幅作品上很难得知作者的思维过程，但如果展现作者的整个画图过程，则可以很容易地理解。为了大家看清楚，我根据刘老师的解释，还原了这个过程：

为了弥补一幅图画很难呈现时间上的先后之序，我们“数学画”利用不同颜色来区分时序：黑色部分表征的是现在师徒年龄关系，师父比徒弟大a岁；红色部分表示以前当师父是徒弟现在岁数时两人的年龄关系，都减少a岁，徒弟是5岁；蓝色部分表示以后当徒弟到师父的年龄时两人的年龄关系，都增加a岁，师父是71岁；图中两个具体年龄5岁与71岁一对比，相差的部分正好是3个a……

我们知道思维的过程很重要，“数学画”展评就是主要交流思考过程即思路的，面对静态图画，辅以作者的言说，以及图画中利用颜色、符号（如箭头、序号等）或者有的同学干脆画成连环画形式来表征思维的过程。——这里便有一个能力培养，即：画图不仅是帮助自己理清思维，还要让别人看清楚，也就不仅是整理思维促进思维也是一种交流能力。

除此之外，我们还有一个设想，那就是能否利用技术手段来还原画图的过程？这个要求有点高，其实有这样的技术，但还不能普及，比如电子白板或移动终端上画图，能自动记录画图过程，展评时再回放即可。

……

这次说的有点多，这些群内讨论，也可以被群外的大家看到，算是对“数学画”的一次科普。而且，本次讨论，未完待续，接下来我们会对学生做一次小测试，看看学生的解决方法会怎样？怎么样？你愿意一起做吗？欢迎哦！好期待——学生的表现，和你的加入！