吴文俊：数学教育弄不好，会引起许多灾难

数学教育现代化问题

简介：本文作者吴文俊，吴文俊先生（1919-2017）是中科院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，系统科学研究所名誉所长。2001年2月，获2000年度国家最高科学技术奖。本文原载于《数学通报》1995年第2期。

我想今天谈一下数学教育的现代化问题，对这样一个大的、重要的而且是复杂的问题，不是一个人随便说了就算数的，应该是经过充分讨论、集思广议，来产生一个共识。

我说的这个现代化，实际上是指机械化。这当然也是我个人主观的看法，大家可以有许多不同的看法。

所谓数学教育是相对于数学研究而来的，这是两个非常不同的范畴。作为数学研究，你要重视创新，可是作为数学教育，你就不能随便创新，而且最好避免随便创新，从影响来讲这也不一样：比如说数学研究，我若写一篇大论文，可以得菲尔茨奖，而这对社会对经济会有什么影响？这个可以说谈不上，对数学本身你说这篇大论文能起什么大的影响？也很难说。可是数学教育就不一样了，这一影响可以很大——弄得好，可以使得数学今后的面貌完全不一样；弄得不好，就会引起许多灾难。

这个灾难也不是随便瞎想的。事实上，是出现过这样的灾难的。我们在60年代中期到70年代中期经历了一场文 化 大 革 命。差不多在同时，在国外，主要可能是在法国和美国，在数学领域也出现了一场“文 化 大 革 命”。当时，就在数学里边推广所谓的“新数学”，也就是当时认为的“现代化”的数学。这个“现代化”的数学，把当时研究最活跃的，比如说拓扑学的内容放到中小学的一些课程里面去，放进一些拓扑的概念等内容，还有许多其他的改革。总的说起来，我说他们的这一场“新数学”运动或者“数学现代化运动”中的“现代化”是极端非机械化的数学。大家可能都知道，这一场现代化的新数学运动，引起了数学教育方面的一场灾难。我想，我们幸好那个时候正好是文 化 大 革 命，所以对于这场国外的“文 化 大 革 命”没怎么跟上。等到我们的文 化 大 革 命结束了，他们的“文 化 大 革 命”也以失败而告终了。否则，我们要是也跟上他们干了的话，我们也会引起一场灾难。

可是另外，我们也有一些方面引起一些不好的后果。当然由于我几十年没有怎么接触学校教育，可能不是那么回事。好像有一个时期，我们在中学里边，把解析几何或者取消了，或者削减到了一个很少的程度。那么，这个后果之一呢，就是等到大学学习微积分的时候你先得花几个月的时间来补这个解析几何。我不知道是不是这样一种情况，我说这也是近似一场灾难，当然没那么厉害。所以说，数学教育的影响很大，不能随便来。这和数学研究不一样，研究工作为了创新，我可以横冲直撞。可是数学教育作为教育你就必须慎重其事，要非常仔细，不能随便乱来。稍微一个做得不对，就要引起很大的后果。

我本来是跟数学教育几十年完全脱节了的，但说实在话，我对数学教育是一直很感兴趣的。对于推行机械化，过去是条件不具备，现在呢，条件相当成熟了，主要方面的条件都比较成熟了。刚才已经谈到，搞不好，会有类似新数学的这种危险。可是另外一方面，即有右的危险，也有左的危险。我说新数学的危险是由于推行极端非机械化产生的一种危险。可是你假定推行机械化的话，如果你推行不当，也可以产生许多危险。所以对于这个地方右的、左的都可以产生很坏的影响。

我举一个例子，要搞所谓的机械化，那当然要使用计算机了，那么计算机在中小学里面推行，这当然很重要。计算机从娃娃的时候学起，我非常赞成。可是假设学习不当，你就会连加减乘除也学不成，小学里边的学生学加减乘除时，你说我有一个计算器，我把一个数目字输进去，再把一个数目字输进去，一加一乘马上就出来了。你要这个样子去学的话，那么学生非但加减乘除学不会，而且以后的整个的数学、科学技术就都不可能学会。我说这是一个非常的危险，这个危险大概不会出现。可是另外有一种危险可以用形形色色的方式，引起对计算机的认识上的问题。使用得不当，还可以引起各种各样的危害的后果。所以，尽管我是不可能涉足，可是我想还是借这个机会谈一下我对这个问题的看法，因为这个问题比较重要。当然，我的话可能有许多错误，尤其可能跟现在的教学情况不符。可是我想，尽管我不在其位，现在还是要谋一下政。我现在来谈一谈我个人的看法。

大学中的现代化问题，或者照我的看法，所谓机械化的问题，现在谈起来为时过早，可能要到21世纪再谈比较合适。所以我想谈的主要是中小学范围里边的数学现代化，或者照我的看法，所谓数学机械化的问题。

解放前，我自己教过好些年的中学，大概有5年，我教的中学都是只有初中和小学的初级中学，我只有半年好像是在一个高中代过课，可真正的高中课没教过。我觉得，中小学内容，数学教学内容跟大学的教学内容有一个非常不同的地方。就是大学的教学内容，基本上用我现在的话讲是非机械化的，大体上是非机械化的，而且是西方的，是17世纪以后的西方的数学的内容。

可是中小学的数学内容，我想借用一个叫做斯托罗克（既搞微分几何又搞数学史）的话，他写过一本叫做数学简史的书，这个里边讲到，西方以外的这个数学，他起了个名字叫做东方数学。他说中小学里边的数学，跟我们现在搞数学的人接触的大学数学和数学研究的那种数学味道非常不同，他把它叫做东方数学。取名为东方数学，说明中小学里边的数学是来源于东方的数学。

我说这个东方应该主要是指中国。我说他的这个说法非常对，整个中小学的数学的教学内容，基本上是东方的也就是中国的，或者说是机械化的。大学教育内容是西方的，大体是非机械化的；可是中小学的数学内容，大部分、基本上、主要的部分是东方式的，是东方数学，是机械化的数学。

那么，我们现在来检查一下怎么样的才是东方的，是机械化的。先来看一下小学，在小学，我们首先要讲四则运算，加减乘除，还有开方等等。其次可能还有比例，有一些我不知道，因为具体内容我不太清楚，还有其他的一些，可能还有一些统计的常识，我在解放前有一段时间还要学习珠算。大体上是这样，现在可能有很大的变动了。不过，你的基本内容是不能取消的，这是最根本的。此外，解放前到了小学六年级有整整差不多一年，搞所谓四则难题，我也教过初中，到了初中，第一年一年级整整一年又讲四则难题，就是对这个四则难题，在解放前我那个时候，学生差不多花了整整两年时间来学习，现在情况我不知道。

那么四则难题的内容是什么呢？我举一个典型的例子，就是鸡兔同笼（题目解略——编者注）。这个推理过程，可以说逻辑推理是非常严格的，思维是非常巧妙的，若要我说，这是用了一些奇招、怪招算出来的。

那么整整小学六年级和初中一年级这个两年里面，就要学习许许多多诸如此类的四则难题，学习许多奇招怪招。这些奇招怪招如果学多了，对于逻辑推理、思维能力等等，的确是起了一定的作用，可是你学了那么多会有什么用？当然奇招怪招学的越多，本领就越大，可事实上，将来你能够用的，我想不会碰到，碰到的机会是微乎其微的。

大概现在不是这样的，我不知道是从什么时候开始的，过去的初中是从初中二年级开始学习代数，用代数的方法来处理诸如此类的回题，四则难题就变得非常容易了。对于鸡兔同笼之类的许多四则难题，你若用代数的方法来做，就会变得非常容易。更重要的是，尽管这种四则难题制造了许许多多的奇招怪招，但是你跑不远、走不远，更不能腾飞，谈不上，远远谈不上腾飞。可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的，平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做，用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他可以腾飞，非但可以跑得很远而且_可以腾飞。所以四则难题用代数取而代之，这是完全正确的，对于数学教育这是非常重要的。我说不能在奇招怪招上消耗时间太多。消耗时间太多是错误的。但我并不是说完全排除不要，你可以不是花整整两年的时间，而是把比如说几个月的时间，两三个月的时间花在这些难题上面，然后再讲代数的方法，把这些难题用奇招怪招做的和用代数方法做的做一个对比，我想这样应该是比较有效果的，我不知道现状是怎么样的。我是非常反对那种作法的，你看他好像学了很大的本领——这一个是一个巧妙的，那一个又是一个巧妙的，其实他做不了什么大事，你要想上升或者说腾飞根本谈不上。

这是我讲的小学里边的情形。这个地方我有必要说一下，我说小学里边的内容以四则运算为主，再进一步到代数方法的话，那这些内容就都是机械化的，这个机械化的内容所以能够很容易地在小学里边能够学到，主要的一个关系是因为它是机械化的，不需要象四则难题那样一定要用巧妙的想法，而是能够比较机械地进行。关键是，加减乘除这些方法，是借助在位值制的所谓位值制的数字表达上面的。这个位值制对进位制是很大的一个飞跃，不是一个简单的改进。我们知道十进位、二进位，而机器里边的这个二进位的，同样的这个1位置不同，它代表的意义就不同，假定说化成十进位的话，最右边的就是，中间的1是，左边的1则是，同样的1表示不同的意义。同样的符号由于位置的不同，它的取值就不同，这就叫位值制。这个位值制比简单的进位制内涵不知要广多少，对于这一点一般是不太认识的。

我简单地说，进位制是只有中国有。我不是说外国没有进位制，比如说拉丁美洲的玛雅民族有20进位制，埃及有十进位制，巴比伦有60进位制。可这种进位制都是不完全的，是残缺不全的。而只有中国的十进位制才是完全的，而且我们非但有完整的进位制，还有所谓位值制，这是很关键的一步，对于这一点一般是不太容易理解的。所以现在我来介绍拉普拉兹的一段话，拉普拉兹是这样讲的：“现在有所谓非常聪明的一个方法，把所有的数用10个字母表示出来，同时给他们一个绝对的位置的值。”就是位值，就是对每一个位置，这三个1位置不同，不同的位置给它以不同的位值，“这个聪明的方法是从印度那儿来的。”

最后一句显然是错误的。印度的数学表达方式简直是不可思议的。西方往往以为所有从东方来的数学都是从印度来的，这个我们不去管他了。他说“用10个数目字表达任意的数字，每一个数目字由于不同的位置给他以不同的位值。这个聪明的方法是从印度那儿来的。这个想法是非常精致而且重要的，它看起来好像这样简单，正是由于非常简单，所以我们不能足够地认识它的功绩。可是正是由于它的非常的简单性跟它的极端的便利性，使得这个方法可以传达到所有的计算，又可影响到所有的计算，使得我们的算术的系统，可以放在有用的发明的第一流的位置。至于发明这样子一个方法是多么困难呢，可以从下面这个事实看出来：就是有两位历史上、古代最伟大的人物，两个天才人物，一个是阿基米德，一个是阿波罗尼，象这样两个伟大的天才人物都不能够发现这样重要的事情，就说明发现这样一个方法是决不是一个容易的事情。”这是引了拉普拉兹的一段话。我引这个话是因为现在可能有许多人对位值制不太注意，对于位值制的重要性不太认识，所以我就说明一下。我说正是由于中国古代发明了完整的进位制而且还创造了位值制，才使得各种运算如加、减、乘、除、开方等等成为可能。希腊时候是没有开方，不会开方的。这是有书为证的。加减乘除怎么样，我不知道，因为没有书为证，我不好随便说。

正是有了这样的位值制，所以我们才能把算术变得非常简单，才使运算、计算变得非常简便。而且经得起历史的考验，我想起码两千年或者我想至少要好几千年。一直到现在，中小学里边你能够取消这些东西吗？所以我说完全是经得起历史考验的。

我想有许多数学，现在兴旺一时，大家都还认为可以，但若要从历史长河来看，它究竟能够经历多久，就不好说了。以后的事情我没有预测，可是象位值制这种是经得起历史考验的，虽然它的重要意义不容易认识。没有进位制，没有位值制，计算机也造不出来，这个是严格的进位制而且是位值制。

我们再说中学，中学学的内容，首先是代数、关于代数的一些运算，然后是方程，主要是线性方程，还有排列组合、行列式等等，当然还有几何、三角。这个几何，我想是中学里最值得考虑的一个内容，中学的几何，过去欧几里德几何占了很大的内容，占了很长时间，主要学习欧几里德几何。然后还讲解析几何。我说，凡是学过欧几里德几何的人，大概都有这种体会，就是你要证明定理，就象解四则难题一样，是非常难的。你怎么添线，怎么转弯抹角，怎么经过严密的所谓逻辑推理，（这也象作四则难题，要用严密的逻辑推理），怎么用巧妙的思维等等，而且证明定理还可以训练脑筋（这也象作四则难题，也是训练脑筋），这是很难的，非常难的可是，我们从机械化的角度来看，四则运算这一部分完全是机械的；四则难题。要靠巧妙的奇招怪招才能作，就不是机械化的，可四则难题一变成代数就机械化了。到中学里边，作运算还有解线性方程这都是机械化的。

我说，在小学范围主要是中国的传统，是东方的数学，从内容上来讲，小学里边基本上是机械化的，就是四则难题是非机械化的。我刚才说过，四则难题这个东西应该即使不是完全取消，也只能保留一个很小的部分。这都是我个人的看法。在中学范围，也是很大一部分机械化，也是中国的传统，也是东方的数学，不是西方的数学。解线性方程，出现在中国两千年前的著作里，是地道的著作，是东方数学，是完全机械化的。在整个中学范围里，最不机械化的就是欧几里德几何这一部分。那么对欧几里德几何应该怎么看，我说明一下我的看法。我有点倾向于讲恩格斯的数量关系，数学研究数量关系与空间形式，简单讲，就是讲形与数。欧几里德几何体系的特点是排除了数量关系，纯粹在空间形式间去推理，或者是把数量关系归之于空间形式，或者干脆就排除掉数量关系，纯粹在形式间经过公理定理来进行逻辑推理，这是欧几里德体系。另外一个体系刚好与之相反，是把空间形式化成数量关系来考虑的，那么这种考虑方式就是中国的传统，或者是像17世纪解析几何的作法，把空间形式变成数量关系，通过这些数量关系来计算等等，得出关于空间形式的种种结论。欧几里德体系是非机械化的，把空间形式化成数童关系是机械化的，至于机械化，我说首先应该是中国，你要翻开世界各国的许多数学史的书来，就会一口咬定中国是没有几何的——几何嘛就是欧几里得几何。你要看看中国真正的数学史的话，就完全不是那么回事，它的几何内容不是欧几里得那样的几何内容。可是它是几何啊！而且它还有一个特点，就是把空间形式变成数量关系来处理，这个发明大概出现在公元前10世纪左右。我国古代在10世纪、11世纪，引进了这种概念，叫做天元，后来又发展到地元等等。要从现代的符号讲，这就相当于引进了、等等，用，用天元、地元来表示某一个几何的事实、几何的事物，那么几何事物之间的一些相互关系，就表示成天元、地元之间的一种方程或是等等之间的一种方程，这个发明的重要意义几乎可以跟位值制相提并论。位值制的发明使得一切计算都变成轻而易举了，也使得现代的计算机的机械化的制作有所依据。而天元、地元的引进，使得几何的代数化成为可能。从此以后，几何的研究就可以通过数量关系的研究来进行我们现在老是盯住这个欧几里德几何死也不肯放，欧几里德怎么怎么了不起。我想欧几里德除了在中学这个角落占了这个阵地以外，到了大学就没有多少阵地了，我们一讲微分几何不是一来就是公式嘛，一来就是方程嘛，微分几何中所有的曲线曲面都要用方程来表达。光从曲线曲面的本身来考虑，当然可以根据许多奇招怪招作出许多漂亮东西来，可是我说你不能跑得远，更不能腾飞，就象对于四则难题一样，你对这方面也必须用代数来代替；同样对于几何，对于研究空间形式，你要真正腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法。当然欧几里德几何漂亮的定理有的是，漂亮的证明也有的是。可是就算你陷在里面，你也跑不了多远。可以做出漂亮的东西来，可是我说要真正的腾飞呀，你不走这条路，我想不出你会有什么好办法。

在中国的传统数学中有许多这种几何的例子，怎么样把一个几何的问题通过代数化变成方程，解方程是中国的传统数学的一个传统课题。可以用这个解方程的方法来处理，这是中国的几何的处理的招，这跟欧几里德的处理方法截然相反。我不是完全否定欧几里德几何体系的处理方法，我们现在一讲古希腊的几何学，往往提到三大人物，欧几里德、阿基米德还有阿波罗尼。这个阿波罗尼最伟大的数学著作是什么呢？七卷的《圆锥曲线论》，就是用欧几里德的体系来考虑圆锥曲线，写了七大本。我想现在是不是还有人研究圆锥曲线要用这个方法呢？那还不是把圆锥曲线方程一写，然后再用数量关系来处理。我想不见得还有人会用欧几里德几何的处理办法来处理，你要用这种办法来考虑圆锥曲线，需用七大本书才能做出证明，别的曲线就更难了。所以这条道路，欧几里德的这条道路，本身是很有问题的。

那欧几里德几何在中学里怎么会占据了这么大的一个领域呢？在整个中学范围内，它占据的地盘是相当大的。本来是东方数学的世界，中小学是东方数学的世界，可就是那个欧几里德几何，它占领了一个相当大的地盘。这里边有种种的原因。这个原因牵涉到许多数学史问题，我有许多不是很清楚，我想将来会弄清楚，它怎么会侵占这么大的地盘的。我说这个并不是要把欧几里德儿何完全一笔勾销，这个我也不赞成，它是有许多值得考虑的地方，值得吸收的地方。不过用什么样的方式，应该吸收哪种东西、排除哪些东西，再吸收另外一些什么东西，这就需要从长计议了。我现在鼓吹的不一定就是对的了——现代化就是机械化，能够把这两者等同起来。这个等同是有问题的，你可以有不同的理解，完全不同的理解。我说如果是要机械化的话，大学现在还谈不上。中小学本来应该是机械化的，不要把四则难题占的分量太多，完全不占也是不对的，这个可能都认识到了。可是对于欧几里德几体我看离开认识还很远。我并不是说完全不要，可是应该及早地，就像小学赶快离开四则难题引进代数一样，中学也是赶快离开欧几里德。用什么方式，引进到什么程度，这个从长计议，可基本上应该及早地引进解析几何。主要是没有解析几何，你微积分就没有了，大学数学课程教起来就困难了。几何就困难，微分几何怎么教啊？微分几何要是没有这个数量关系，没有一个空间曲线由三个方程来表示，曲面也由方程来表示，没有这一套你怎么弄！如果没有这一套，微分几何这个课程就教不起来，其他课程就更不用说了。既然认识到这个武器是有利的，做为数学教育，应该及早地把这种武器传授给下一代，我想教育的目的应该是这样。当然应该慎重行事。有的要取消，应该慎重考虑，是不是取消部分，或是不应该取消：添加进来的，是不是应该添加一部分，或者不应该添加？这都得慎重地考虑。我想，总的一个，当然非常简单明了，就是这样，四则难题让位于代数，欧氏几何让位于解析几何。这就是我的基本主张，至于怎么样具体处理，那是另外一回事。

比如说，欧几里德几何要讲证明定理，那我现在就来讲，怎样用解析几何来证明定理。过去在中学里也念解析几何，可是对证明定理有的书上仅仅稍微说几句，就没有了。之所以如此主要是解析几何把几何关系变成数量关系，这个数量关系不好处理，算起来麻烦。那个时候还没有计算机，现在有了计算机你也得有一套办法，你若没有办法取而代之，你就不能随随便便把那一个完全砍掉。

下面我想讲一讲，怎样在中学范围里，通过解析几何，取代某一部分，至少某一部分欧几里德几何定理的证明（举例略——编者注）。

……我刚才说过斯托罗克提出了东方数学的称谓。我在许多数学史的书上面都没有看到这种话，而在斯托罗克的书上看到了。他的书有许多问题，让人非常反感，可是这段话却非常精彩。他指出来，中小学里边的这个东方数学的味道，跟大学里边完全不一样，这就是机械化跟非机械化的区别。可是在中小学范围里边，即所谓东方数学的里边混进了一部分非东方数学的东西，我说这个局面也可改变。

我今天讲的这个东西是我多少年一直想讲的。在好些年前，至少是1983年或者更早，我就想在中学里边推行，可就是不敢。因为中学里边是不能随便进的，而且当时条件不具备，你要用计算机，可在中学里边根本不可能。我想，现在中学里边计算机是越来越普及了，而且计算机的发展非常神速，一个小型的PC机体积虽然很小，但比较高级的软件都可以放进去，高级语言也可以使用，所以客观条件已经具备。几何应该走这一条路——东方的道路，而不是走那一条非机械化的路。可是现在的中学不是那么回事，而且，有的人可能用种种形式还在推行，事实上还是在推行非机械化的东西，这是我非常不赞成的，本来在中小学，我是尽量避免卷进去的，可是我看到这种情况。一方面是正是时候，现在如果不作的话，将来也还是要作……，我说正是时候，也就是正是在中小学范围里边，真正推行东方色彩的时候。说到几何学，我还要说一句非常极端的话，我认为，中国的传统几何学才是真正的几何学，而决不是欧几里德几何是真正的几何学，这是我的个人观点，是不能作为定论的。我们这个讨论班本来不是讨论这个问题，我这里只是插进来谈一下我个人的一些想法。另一方面，至于具体怎么实行，大家是否考虑一下是不是自己具备这个条件，首先是对中学要有比较多的接触的，你真正在中学里边和教师、同学一起干的，而不是这样讲一次报告，说说就算数的。我说干就是要真干，真刀真枪地干，不是光说说而已，那要花很大的时间，而且这不是一个很简单的问题。我希望有的同志如果乐意、愿意，并且觉得可以做，值得做的话，我希望有同志能够推行这个事情。

（本文根据录音整理。整理人：杨万里）