体积很小，但面积无限大的物体——揭示了一个深刻的数学哲学问题
伽利略常被认为是现代科学之父。是他把实验原理、理论原理和数学原理结合在一起，形成了一个标准的框架。伽利略对现代科学的发展做出了巨大的贡献。
伽利略从比萨斜塔上扔下两个质量不同但材料相同的钢球，它们同时落地。这个实验的非凡之处在于，他开创了一种新的科学研究方法，通过实验来验证假设。他告诉我们，我们要做的不仅仅是认为某件事是真的，我们还要证明它。
大多数历史学家认为，伽利略在比萨斜塔上进行的著名实验从未发生过。伽利略在担任比萨大学数学系主任时，发现了一个有趣的悖论。
定义：一个悖论，也称为二律背反，是一个逻辑上自相矛盾的陈述，或有悖于人的期望的声明。（维基百科）。
伽利略的悖论是关于确定两个包含无限物体的集合是否相等。例如，设P是P={0,1,2,3，…}的正整数集合，E是E ={0,2,4,6，…}的偶数集合。伽利略认为，这两个集合的大小是相同的，因为我们可以把集合P中的每个正整数与集合E中的偶数配对。
那么，当E中出现“较少”的数字时，两个集合的大小如何相同呢？这被称为“伽利略悖论”，并引发了一场关于无穷大概念的新辩论。
伽利略之后，他的学生托里塞利成为比萨大学数学系的系主任。由于托里塞利也对数学感兴趣，他问道：
是否存在体积有限但面积无限大的物体？
首先，我们直觉上觉得这样的东西不存在。然而，数学告诉我们这样的事情是可能发生的。托里塞利自己回答了他的问题，发现了“托里塞利小号”，它的表面积是无限的，但它的体积是有限的。他的发现被视为一个“不可思议”的悖论。
托里塞利小号是怎么形成的呢？我们都知道如何画出y=x。如果你画出方程y=1/x，图像会是这样的：
当我们取y=1/x的图像并绕x轴旋转时，我们就看到了托里塞利小号。
幸运的是，我们有数学公式来计算托里塞利小号的面积和体积。当我们对小号的体积使用下面的积分公式时，我们得到的是一个有限的体积。
但是，当我们对小号的表面积应用积分公式时，其表面积将变为无穷大。这个结果有趣吗？
由于托里塞利小号的体积是有限的，我们可以用有限的材料来制作它。例如，我们假设它的体积是100升。我去买了100升油漆，把它灌满。然而，有趣的是我用100升的材料做出了无限大的表面。
在实践中，不可能的情况在数学上变成了可能。那么，托里塞利小号怎么可能是真的呢？或者，在伽利略的例子中，当一个集合是另一个集合的子集时，我们如何精确地匹配集合的所有元素？
所有这些冲突的原因是，无穷大的概念不同于我们所知道的其他概念，这让很多人感到困惑。伽利略在他的悖论中说，
反对它是徒劳的。我正在研究的集合是包含无穷大的闭集的例子。它们从一点开始，一直延伸到无穷大，但它们仍然是固定的。然而，我对无穷大的看法和概念必须与我对有限大小的看法和概念不同。如果你在处理有限的数字，如3公斤小于5公斤，或者32米比7米长。但当它达到无穷大时，你不能说这个无穷大比哪个无穷大大，比哪个无穷小小，或等于哪个无穷大。
这就是伽利略在17世纪提出的解决方案。
我看到了，但连我都不敢相信……
康托的思想是一种困扰数学的顽疾。总有一天数学会给他治病的。