中考数学压轴题分析：倍长中线与全等

本文内容选自2021年湖州中考数学几何压轴题，题目涉及中点有关的辅助线的添加方法，难度适中，值得研究。

---

【中考真题】

（2021·湖州）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结，．

（1）如图1，若，，，，求的长．
（2）过点作，交延长线于点，如图2所示，若，，求证：．
（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

---

【分析】
（1）根据特殊角的三角形有关的边角关系可以得到结论。

（2）证明BC与AP的关系，可以直接证明AE与BC的关系，考虑使用全等的方式进行证明，但是没有全等的三角形。因此需要构造辅助线，连接BE即可得到△ABE，证明它和△CBE全等即可。

（3）本小题可以在（2）的基础上进行拓展，因此仍然考虑倍长AP并连接BE。易得△BDE为等腰指教三角形，再证明全等，易得结论。

---

【答案】解：（1），，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
在中，，
，
，
（2）证明：连接，

，
，
在和中
，
，
，，
，
，
又，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中
，
，
，
，
（3）存在这样的，．
理由如下：作交延长线于，连接，
由（2）同理可得，，，

当时，
，
作于，
，
，
，
点，重合，
，
，
，
同（2）可证：，
，
存在，使得