第9招：偷梁换柱-换元构造函数证明不等式
第9招：偷梁换柱 - 换元构造函数证明不等式
(
天津卷)已知函数
,
为
的导函数.
(Ⅰ)当
时,
(i)求曲线
在点
处的切线方程;
(ii)求函数
的单调区间和极值;
(Ⅱ)当
时,求证:对任意的
,且
,有
.
【答案】(Ⅰ)(i)
;(ii)单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞),
的极小值为
,无极大值;(Ⅱ)证明见解析、
【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时,
,
、可得
,
,
所以曲线
在点
处的切线方程为
,即
、
(ii) 依题意,
、
从而可得
,
整理可得:
,
令
,解得
、
当x变化时,
的变化情况如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);
g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值、
(Ⅱ)证明:由
,得
对任意的
,且
,令
,则
、 ①
令
、
当x>1时,
,
由此可得
在
单调递增,所以当t>1时,
,即
、
因为
,
,
,
所以
、 ②
由(Ⅰ)(ii)可知,当
时,
,即
,
故
③
由①②③可得
、
所以,当
时,任意的
,且
,有
、
令法:要证明原不等式成立,只要证
、又
,下证
,令
,
,
,所以函数
在
上递增,则
。
【点评】本题第(2)问是多元变量证明不等式问题,基本方法是运用换元法进行消元构造新函数,整理发现多项式含有
,进而对式子
提取
,进而令
,构造函数证明
,结合
进行放缩,进而把多元不等式问题转化为单变量问题进行解决、含双变量
的问题,常常构建
或
的关系,再利用换元法,把二元问题转化为一元问题,最后结合导数证明不等式。
换元法构造函数证明不等式的运用
1.适用题型
综合性很强的导数解答题中,不等式的证明中有两个变量,这两个变量可能是极值点、零点、两函数交点、极值等。
2.换元的实质
若两个变元
之间联系“亲密”,我们可以通过计算、化简,将所证明的不等式整体转化为关于
的表达式(其中
为
组合成的表达式),进而使用换元令
,使所要证明的不等式转化为关于
的表达式,进而用导数法进行证明,换元的实质是转化,构造元和设元是关键。
1.换元构造的类型
(1)表达式形式为齐次式时,我们常利用构造比值式,再整体代换的方法完成消元;
(2)非齐次式的消元构造复杂一些,思路可以分为两大步,即先消元再构造;
(3)当研究的双变量是二次函数的零点时,此时可认为两零点的关系是明确的,可根据韦达定理得到两零点之间满足的关系,消元后进一步求解;
(4)当研究的双变量关系不明确时,利用降元思想,将双元不等式转化为单元不等式,具体方法如下:一般选取
为主元,将
,
,
,
,
建立关于
的函数,用函数思想建立数量关系,借助导数证明不等式。
2.解题步骤
第一步:找到要证明的不等式中的两个变量的内在联系,如两个极值点就可以利用导数等于零,如果导数是二次函数或与二次函数相关,就可以利用韦达定理处理;
第二步:化简不等式,将变量直接代入函数不等式结合变量间的关系化简,将不等式转成只含一个变量或能够整体换元的变量组合形式的表达式;
第三步:通过换元构建新函数,分析单调性求解最值,将不等式的证明转成求解函数最值问题,从而将一个无从下手的不等式证明问题转成一个常规的导数问题。
1.（2021届黄冈市黄梅国际育才高级中学期中）已知函数
.
(1)若
只有一个极值点，求
的取值范围.
(2)若函数
存在两个极值点
，记过点
的直线的斜率为
，证明：
.
2.（2021届昆明市第一中学月检测）已知函数
.
（1）若
在其定义域内不是单调函数，求实数
的取值范围；
（2）若函数
存在两个极值点
，
，且
，设
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
3.（2021届泰州市期中联考）已知函数
，
．
（1）求函数
的最小值；
（2）若
是
的切线，求实数
的值；
（3）若
与
的图象有两个不同交点
，求证：
．