华应龙：买披萨的故事（课堂实录）
一、故事导入，激趣引思
师：（充满神秘感……）同学们，我在微信里，看到一个故事……（播放动画《买披萨的故事》）。
我的一位朋友去加拿大赏枫叶，中午在一景点吃披萨，点了个直径12吋的披萨。等了一会儿，服务员客气地端来了两份披萨，说12吋披萨没有了，给您一份8吋的，一份4吋的吧。
我朋友一愣，客气地请服务员叫来了老板。我朋友给老板普及了一下圆面积公式，12吋披萨面积为113.09平方吋，8吋披萨面积为50.26平方吋，4吋的面积为12.57平方吋。两个加起来共62.83平方吋。
老板无语，又给了我朋友2个8吋的披萨，并竖起大拇指夸奖道：“中国人真厉害！中国人数学真厉害！”
（听完故事，学生们都笑了。）
师：（板书“笑中问”）微笑中有疑问吗？同桌交流一下。（同桌两人交流。）
爱因斯坦说“发现问题比解决问题更重要。”现在能把你的疑问分享给全班同学吗？
生1：这个人是怎么一眼看出8吋披萨和4吋披萨加起来不等于12吋披萨的？
生2：8吋的披萨和4吋的披萨加起来为什么小于12吋的披萨？
生3：后来老板又给了两个8吋的披萨，加了两个8吋的披萨是不是就等于12吋的披萨？
……
师：（板书“为什么”）“为什么”的背后还有一个没有说出来，但大家都会有的一个问题（板书“真的吗”，并笑问学生“对吗？”）
生：（齐）对。
师：其实我们还可以问出（板书“……”）好多的问题。我相信这节课后，同学们会欲罢不能的（竖起大拇指鼓励学生）。会这样吗？我们拭目以待（微笑）。好，我们来看第一个问题“真的吗？”8吋与4吋的和真的小于12吋的吗？
二、算中验证，自主探究
（学生纷纷打开练习本，写下自己的思考，老师巡视，并记录。）
师：同学们每个人都有自己的方法，非常好！我走了两圈，记下了这么多名字！（向学生展示自己记下的满满一页纸的名字）
1．常规思路，坐看云起
师：我们请一位同学来说一说他的想法，有请“生1”。
生1：（将练习本放在实物投影上，并走上讲台指着屏幕讲解）先把8吋披萨的面积算出来，结果是50.24（老师板书“50.24”）；再把4吋披萨的面积算出来，结果是12.56（老师板书“12.56”）；将两个面积加在一起是62.8（老师再板书“62.8”）；再把12吋披萨的面积算出来，结果是113.04（老师板书 “113.04”）。由此看出，服务员端上来的两个披萨面积之和确实没有客人点的披萨大。
师：怎么样？（微笑着带领全班同学为生1鼓掌）同学们对生1的回答有疑问吗？（同学们纷纷摇头，示意没有问题。）
师：（投影动画中的一组数据，微笑看着学生。）
（学生纷纷举手，老师示意生2回答）
生2：屏幕上的计算结果和生1的略有不同，每个面积都要略微大一些，这是为什么呢？
师：对啊，这是为什么呢？是生1算错了还是它（指向屏幕）算错了？
生3：因为π的取值不同，我们生1算的π取值是3.14，而动画中的π取值可能是3.14159等等。
师：（微笑点头）还真是这样的。我专门研究“化错”嘛，错了就一定追问到底。我试了，π取3.1415，再保留了两位小数，就得到了这样的结果。（学生们一脸释然。）
师：我是数学老师，看到数据，就喜欢追问“真的吗？”常常是动笔一算，总有发现。时间关系，今天不和大家分享了。（学生们懂事地点点头。）
现在的问题是：需要这样精确吗？（学生们会意地摇摇头。）为了展现我们强大的计算能力？如果我们只有计算能力强大，就像计算器，那就值得思考。有请生4来交流。
生4：（将练习本放在实物投影上，并走上讲台讲解）我有一种方法，就是不把π算出来，拿8²π+4²π与12²π比较，8²×2＋4²＝144，12²＝144，因此，8²×2＋4²＝12²。所以2份8吋披萨和1份4吋披萨的面积加起来等于1份12吋披萨。这样没有把π算出来就可以得出结果。
生5：短片中提到的4吋、8吋和12吋都是指的直径，而不是半径。
（引发同学们的共鸣。）
师：差错就是提醒。掌声感谢生5提醒我们，算圆面积的时候一定要用半径。（同学们边鼓掌边点头。）他虽然把直径当成了半径计算，但是思路非常好，π不算出来是很好的方法。
那么，直径12吋的面积是多少？
生：（齐）36π。
师：（在“12”下方板书“36π”）。直径8吋的面积是多少？
生：（齐）16π。
师：（在“8”下方板书“16π”）。直径4吋的面积是多少？
生：（齐）4π。
师：（在“4”下方板书“4π”）。那么8吋和4吋的面积之和是多少？
生：（齐）20π。
师：结论呢？
生：8吋与4吋的面积和小于12吋的面积。
师：所以不把π算出来是不是也能看出来啊？
生：（齐）对。
师：（带领全班同学给生4鼓掌）确实，给1份8吋的和1份4吋的，顾客亏大了。亏了多少？（16π）看来，再给一份8吋的正好。而老板又给了两份8吋的，看来老板还是很大气的（微笑）。在我们做题的时候，有时候需要把π算出来，有时候就不要算。而这种不要算，和我们将来在中学的解题方法是一致的。
2．综合应用，柳暗花明
师：除了刚才两种方法，我还看到一位同学的方法与众不同，有请生6！
生6：（将练习本放在实物投影上，并讲解）12吋披萨的面积与8吋披萨的面积的比等于9∶4，就是9份比4份。8吋披萨的面积和4吋披萨的面积比是4∶1，4吋披萨只占1份。4＋1＝5（份），9－5＝4（份），正好等于1份8吋披萨；所以1份8吋披萨加上1份4吋披萨，再加上1份8吋的披萨就等于1份12吋的披萨的面积。（同学们心领神会，热情鼓掌。）
师：这个方法把π都扔掉了，为什么呢？
生：因为一比π就没了。
师：不同圆的直径比和半径比及面积比之间有什么关系啊？（学生思考）
直径比和半径比的关系是怎样的？
（学生犹豫，不敢回答。继而有学生说“是一样的”。）
师：（在 “8”、“4” 、“12”下方板书“2∶1∶3”）
师：这是它们直径的比，也是半径的比，那它们面积的比呢？
生：（齐）4∶1∶9。（老师板书）
师：4份加1份，是5份，那再加4份就是9份了，对不对？（微笑）
生：（齐）对。
师：是不是把学过的知识综合起来就能解决这个问题了？很有意思，是不是？我们把掌声给生6。（学生齐鼓掌）
师：现在我们回过头来再想想，当生4的数据用错了，她把直径当成了半径，为什么结果却对了呢？
生：就是这个原因（指着黑板上的比值）。虽然把直径当成了半径，但它们的比是一样的。
师：哈哈哈，就像是我们的托儿！原来生4是在前面打埋伏的。（全班都笑了。）这样一交流，我们发现，哪怕是错了，对我们都是有益的，大家都会有收获，是不是啊？关键你怎么去看。如果你讥笑别人，那么就不会有收获了。（同学们频频点头）
3．以形助数，一目了然
师：刚刚我还发现了一位同学（生7），他的思路非常好，可惜他没有做完。（老师在黑板上贴了一个大圆代表12吋的披萨，一个中圆代表8吋的披萨，一个小圆代表4吋的披萨）看看谁有好方法，能让别人一眼就看出——8吋与4吋的和比12吋的小？（示意生8演示）
（生8上台将两个小圆贴在大圆上。）
（学生们一齐鼓掌）
师：（微笑指着生8拼好的图形）一目了然吧？这就启发我们，以后碰到数的问题，可以想办法用形来解决，是不是？
生：（齐）是的。很妙，很妙。
师：刚才我们问“这是真的吗？”，现在你觉得，这个追问是不是很有意思？（学生频频点头）
接下来，我们接着问“为什么？”。8吋与4吋的面积之和为什么比12吋的面积小？（板书：4＋2＝6；4²π＋2²π＜6²π）这是为什么？其实，π可以消去（在板书中划掉）也就是4²+2²＜6²，为什么？还像刚才那样，自己研究，独立思考，我会来捕捉全班同学的精彩表现。
（学生思考，老师巡视。）
师：下边有请生9来展示。
生9：（在纸上画了一个边长为6的正方形，代表6²，里边画了一个边长为4的正方形，代表4²，一个边长为2的正方形，代表2²）边长为6的正方形中还有空余的面积，所以验证了黑板上的4²＋2²＜6²。（不少学生恍然大悟。）
师：学以致用，把数的问题转化成形的问题，真棒！（课件演示：小正方形向下平移）其实生9的方法再进一步，就是这样一张很美的图。
从图中，可以看出“4＋2＝6”在哪儿？“4²+2²＜6²”在哪儿？
生：（恍然大悟，齐）对。
师：而4²+2²是在一个面上，对不对？
生：（思而不答。）
师：“4＋2＝6”是一维世界里的故事，而“4²＋2²＜6²”是（部分同学马上领悟到，并跟着老师异口同声说出）二维世界里的故事。所以在这里特别跟你们分享，我想出的一句话“白天不懂夜的黑，一维难知二维的²”。“二维的²”是什么意思呢？那就是多了另外一个方向，是不是？（学生感到很受启发，恍然大悟。）
4．小试牛刀，过而能改
师：看看微信中买披萨的故事，想想，做做，真有意思！因此，我在微信中，改编了这个故事：
顾客点了个直径10吋的披萨。等了一会儿服务员客气地端来了两份披萨，说：“10吋的披萨没有了，给您两份6吋的，多送您2吋吧！”
如果你是“顾客”，怎么向我这个“老板”来投诉？
（学生思考，老师巡视。）
生10：直径10吋的披萨半径是5吋，面积是25π平方吋。而6吋披萨半径是3吋，面积是9π平方吋，再多送一个2吋的披萨，半径是1吋，面积为1π平方吋。也就是说两个9π加1π还不足25π呢！
（台下同学中出现质疑声。）
生11：（急急忙忙上来解释题意）服务员的意思是两个6吋的直径合起来为12吋，比原来10吋的多了2吋。而不是在这个基础上再多给你一份2吋的披萨。
师：（眼睛中充满了善意）你的反应真快！建议——下次评价同学发言的时候，先肯定他好的一面。刚刚这位同学表示的意思是10吋的面积为25π，两个6吋的面积为18π，这些都是完全正确的，掌声送给他！（掌声响起）并且，这次他不把π算出来了，不算出它的准确值，就是带π来比较，是不是非常好呀？（掌声再次响起）
师：（惊喜地瞪大眼睛看着生10）我好奇，你为什么会有这个错误呢？（停顿，看着全班同学）是不是由于我的表达不清楚呢？我要怎样改一下就更好呢？
生12：多送了您两吋，加个“了”字。
生2：您赚了2吋。
师：真好，真好，十分感谢生10！见到差错，不迁怒，多从自己身上找原因，就是好学的表现。刚刚我们这位同学的这个差错有没有价值？（有）其实每一个差错都是宝贝。过而能改，（学生和着）善莫大焉！对，没有比这更美好的了。
三、再次追问，总结延伸
师：（指着省略号，面向全班同学）关于这个故事，微笑中，你有新的疑问吗？（学生在思考）吃披萨吃的是面吗？
生：不是，还有料！（全班大笑）
师：我的问题是，披萨的大小真是个面积问题吗？
生：（惊讶地）体积的问题。
师：那你又要考虑什么问题？
生1：12吋的披萨和8吋、4吋的披萨厚度一样吗？
生2：一样。
生3：不一定。
师：这是个什么问题啊？
生：圆柱体积的问题。
师：吃过披萨的同学都知道，披萨的翻边十分脆，非常香。但这么一换，对喜欢吃翻边的顾客来说，是赚了还是亏了呢？（微笑）这又是什么问题了啊？
生：周长的问题。
生：是圆环的问题。
师：看看，是不是还能提出很多问题来啊？
生：（齐）对。
师：（低头看下手表）上完这堂课有收获吗？
生：（齐）有。
师：什么收获？
生：看问题不能只看一个角度，比如披萨的问题，服务员是从直径的角度看问题，顾客是从面积的角度来看，所以要从多方面多角度去考虑。
生：我的收获是学会了提出问题。
生：我知道了数的问题可以用二维的图来表示，结果解决得更加清楚。
生：不要别人说什么都是对的，自己要学会验证。
师：是的，我就是要让大家学会去思考“真的吗？”这个问题我们常常会有，但是不敢说出来，没有去验证。其实验证完了，是会有收获的。
再请大家思考一个问题，今天这样的收获是怎么来的？
生：思考了。
师：从什么问题引起思考的？
生：服务员的差错。
师：对，服务员的差错，也是我们可能有的差错，所以我特别想和大家分享我的感悟：（在黑板左右两侧板书）牵手差错思且行，前方自有新风景。（学生们佩服地啧啧称赞。）关键的是要“笑中问”，问什么？
生：真的吗？为什么？
师：（在“真的吗？为什么？……”外加红框）你愿意继续“笑中问”吗？课下，可以试着改编这个笑话。（生11）你们几位同学可以继续研究“4²＋2²＋？＝6²”（板书：4²＋2²＋？＝6²）
下课。（学生心满意足地鼓掌，久久不愿离开。）
板书设计