2021伊朗RMM代表队选拔考试 中文翻译

第一天

1.正交的两圆 圆心分别为, 交点为. 已知为的直径, 且与不相交. 过分别作的切线, 切点分别为. 且在的同侧, 在的同侧. 直线交于点, 直线交于点. 求证: , 且与相切.

译者注: 本题目选自美国数学月刊12245，由陈嘉昊供题


2.函数 满足.证明：若对任意 , , 则 对任意成立.

3.在一个由单元格构成的 棋盘内，定义一条长度为 的"蛇"为由棋盘内 个互不相同的单元格组成的有序序列 , 满足对 , 单元格 与 有一条公共边. 若在棋盘内的一条蛇现对应的单元格序列为 ,, 而 为与 有公共边的空单元格，则该蛇可以"移动"到 如果一条蛇最初的序列为, 经过有限步的移动之后 ,其序 列变为 , 则称该蛇进行了"转身".求正整数的最大值, 使得存在一条长度为的蛇,可以在一个的棋盘内进行转身?

译者注: 本题目为2019美国EGMOTST的第一题.
2019美国IMOTST第三题为本题目的升级版.


第二天

4.在一个网格表中, 一个多联骨牌指其中有限个相连的单元格组成的一个结合体的内部部分. 是否存在正整数, 使得一个的网格表内部, 存在一个多联骨牌, 使得在任意一行中包含个单元格, 在任意一列中也包含个单元格?

译者注: 本题目为$2019$年美国数学月刊的问题$12137$.


5.已知内心为, 且. 为中点, 为其外接圆上弧 中点. 过作 的平行线, 分别与交于点. 与直线交于点.
证明: 点在外接圆与外接圆的根轴上.

译者注: 本题目也选自美国数学月刊，由Andrew Wu提供.


6.若次多项式的系数满足, 就称这个多项式是"好的".
初始时, 沙兰有个互不相同的实数 . 沙兰对它们进行如下操作:
在每一步中, 他选择一个正整数 ,将这个实数替换为它们的次幂, 随后构造一个首一的多项式, 使这个多项式的根为这个实数. 然后, 沙兰检查这个多项式是否为"好的".
求证: 若干步之后, 所有的沙兰所生成的多项式都是"好的".

第三天

7.多项式. 求证: 存在严格递增的正整数列, 满足对任意, 且对偶数, 有, , 对奇数, 有.

8.在国际象棋的棋盘上, 王后可以攻击与之同行, 同列, 或者同一斜行的所有棋子. 若一组王后不能互相攻击, 就称他们是一个独立组. 对正整数, 在一个 的网格表上的每个单元格中放置一个王后, 设 为最小的正整数,  使得这些王后可以被划分为 个独立组, 每个独立组的王后不能互相攻击, 且这 个独立组包含了所有的王后.
对正整数, 求证: .

9.正整数大于, 且可以表示为两个有理数的立方和. 求证:一定可以表示为两个非负有理数的立方和.