2021-03-07
[贪心]AcWing数糖果
有 n 个小朋友坐成一圈，每人有 a[i] 个糖果。
每人只能给左右两人传递糖果。
每人每次传递一个糖果代价为 1。
求使所有人获得均等糖果的最小代价。
输入格式
第一行输入一个正整数 n，表示小朋友的个数。
接下来 n 行，每行一个整数 a[i]，表示第 i 个小朋友初始得到的糖果的颗数。
输出格式
输出一个整数，表示最小代价。
数据范围
1≤n≤1000000,
0≤a[i]≤2×109,
数据保证一定有解。
输入样例：
4
1
2
5
4
输出样例：
4
思路：
首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。
假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| |X2| |X3| …… |Xn|。
对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1 X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1 X2=ave。
同理，对于第2个小朋友，有A2-X2 X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。
尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。
对于第1个小朋友，A1-X1 X2=ave -> X2=ave-A1 X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）
对于第2个小朋友，A2-X2 X3=ave -> X3=ave-A2 X2=2ave-A1-A2 X1=X1-C2 即C2=A1 A2-2ave=A2 C1-ave以此类推
对于第3个小朋友，A3-X3 X4=ave -> X4=ave-A3 X3=3ave-A1-A2-A3 X1=X1-C3
我们的Ci的通式为Ci=Ai C[i-1]-ave!!!
……
对于第n个小朋友，An-Xn X1=ave。
我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| |X1-C1| |X1-C2| …… |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。
作者：CB
链接：https://www.acwing.com/solution/content/955/
来源：AcWing
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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){int n;
cin>>n;
long long a[n 1]={0};
for(int i=1;i<=n;i )scanf("%d",&a[i]);
long long sum=0;
for(int i=1;i<=n;i ) sum =a[i];
long long av=sum/(long long)n;
long long c[n 2]={0};
c[1]=av;
for(int i=2;i<=n;i ){c[i]=c[i-1] av-a[i];
}
sort(c 1,c n 1);
long long ans=0;
long long m=c[(n 1)/2];
for(int i=1;i<=n;i )ans =abs(m-c[i]);
cout<<ans;
return 0;
}