代表性成果：
1.算术探索（初等数论集大成者，代数数论萌芽，18世纪最伟大的数学著作，不解释）
2.曲面内蕴微分几何（黎曼几何的重要源头，微分几何奠基之作，非欧几何代表工作之一，启发现代几何学）
3.概率论正态分布
4.高斯绝妙定理
5.高斯电磁定律做为古典数学集大成者，现代数学的重要启发者和奠基人，王子的成就覆盖了数学各个分支，公认的数论史上第一人，几何学史上top5，初等数论集大成者，代数数论萌芽始祖，现代微分几何鼻祖，对概率论作出重大贡献，并且在非欧几何，代数数论，椭圆函数论，椭圆积分作出早期系列工作，并且在电磁学，大地测量学，天文学等取得不凡成绩。王子的学术成就遍布数学各个领域和分支，并且极具深度与完成度，毫无疑问，在一切时代，高斯都是史上最伟大的数学家之一！尤其在学术广度，全面度以及公众影响力，以及数学史地位，高斯基本上都是公认的数学之王，历史第一人。但是，我们如果从个人学术成就的意义，开创性，重要性以及对数学本身以及后世的影响力，辐射力来说，高斯绝不是史上第一人，甚至前三都排不到了。论学术成就与深度，开创性，高斯和黎曼差距太远，无法相提并论，高斯差了黎曼至少两到三个档次，基本不是一个档次的数学家了。和庞加莱相比，两者都兼具全面性与广度，而且在深度和完成度上都差不多，但庞加莱拓扑学难度超越高斯太多，而且拓扑学对现代物理的渗透力远超高斯的物理渗透力，而且庞加莱独力构建的拓扑学这个数学中心结构，王子没有任何一项成就能与之相比，所以王子不如庞加莱，差了半个到一个档次吧。就数学成就来说，实际上高斯与欧拉，希尔伯特，格罗滕迪克差不多，而且就单个数学成就而言，高斯甚至不如伽罗华，阿贝尔！但高斯占了时代的因素，在他的那个时代作出如此具有广泛与全面性的成就，在学术成就差不多的前提下，王子比希尔伯特，诺特，格罗滕迪克早了近百年，确实可敬可佩，所以将王子排在德国第二，世界第二。但可以肯定，在未来的进程中，高斯的学术排名与影响，必定会进一步降低，随着代数几何与群论，表示论，几何化朗兰兹的进一步发展，会感受到格罗滕迪克，庞加莱，希尔伯特三人的伟大，他们的学术成就排名在未来有极大可能超越高斯！而且不排除(是肯定)在未来会出现更强的数学家，所以高斯这个世界第二的位置是不稳的。但高斯在严密性和抽象性上要超过欧拉，而在深度和完成度上以及全面度上要胜过阿贝尔和伽罗华，所以目前暂时排在世界第二位还是合适的。1.数学史上天智全才，广度与厚度无人能及！王子是与欧拉并肩，甚至在抽象性与严格化超越欧拉的数学史第一全才，在他的时代，数论当之无愧的史上第一，几何史上top5，在代数领域也做了阿贝尔，伽罗华之前的最强的成就，在分析领域，也仅次于魏尔斯特拉斯，柯西，黎曼，阿贝尔等几人能稍微领先他。换言之，在1840年以前，王子是绝对的统治时代的人物，也是牛顿，欧拉之后又一个统治时代的数学家。在1840年以前，高斯在数论，几何，代数，分析四大数学领域里均做出了当时最顶尖的成就，无人能及！无论是阿贝尔伽罗华，还是魏尔斯特拉斯雅可比，无疑都是他的学生辈了，虽然后来者在某些领域超越了高斯，但高斯拥有自己完整的统治时代，毫无疑问！王子的全面性从纵横时代来讲，都当之无愧的史上第一。黎曼庞加莱在代数领域偏弱，格罗滕迪克希尔伯特，庞加莱，阿贝尔，伽罗华几何拓扑方面偏弱，欧拉在整体严密性和抽象化严格化上不如王子，柯西在成果的重要性上和高斯差距明显！换言之，在1840年代群论和椭圆函数论逐渐崭露头角大放异彩之前，高斯是史上第一人毫无争议。2.早慧的传奇，领先时代的神话！高斯早慧的传说早已名垂千古，为他的公众影响力带上耀眼的光环，19岁的时候，就超越了法国3L数学家的成就与地位，年纪轻轻就登上数学神坛，成为当时数学家膜拜的至高偶像，声誉权威威望与地位无人能及！甚至直到今天，还是有许多专业或业余数学家与爱好者认为高斯是史上第一！3.高斯的数学笔记，无疑是他又一个灿烂数学生涯的最好注脚！王子去世后整理出来的笔记，里面许多结论甚至在当时都是很卓越的成果，而这些成果都是在1814年以前完成的，里面囊括了数论，分析，几何，代数各个分支的成果，而且都是当时最领先的东西，研究了高次代数方程，分圆方程，甚至发现了椭圆函数双周期性，这些成果，直到阿贝尔，伽罗华出现之前都是领先的，而阿贝尔，伽罗华的理论被认可，差不多已经是1840至50年代以后了，换言之，高斯这些未发表的笔记论著，领先了时代数十年，如果高斯不是因为追求完美，而把这些遗著当时也发表了，可以让数学研究直接在他的基础上，至少前进四五十年！4.王子为人冷漠，不喜欢也不擅长教学，虽然有许多顶级数学家组成的豪华粉丝团，但在传道方面却难称出色。但是，高斯有一个名字照耀千古的史上最强数学家弟子黎曼！虽然黎曼受高斯教导影响不大，与高斯并无多少接触，但从哥廷根的系统来说，黎曼可算是高斯的嫡系门生了。在黎曼博士论文和就职演说两项数学史上最伟大最灿烂的篇章中，高斯都给予黎曼最大的支持和最高的赞美！1.最大的不足：19世纪近现代数学最重要的标志性的成果，没有一个是王子独立开创的！近现代数学的标志性成果，黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、分析基础严格化、复变函数论等等，没有一项是由高斯创立的！虽然高斯几乎在所有领域都作出了杰出的贡献，但他不是决定性的人物，群论归功于伽罗华和阿贝尔，椭圆函数论上阿贝尔，雅可比的工作超越了高斯，复分析与分析基础严格化以及复变函数论成就最大的是黎曼，柯西，魏尔斯特拉斯，虽然高斯被认为是非欧几何创始人之一，但他没有公开发表论文，而且完成度不如罗巴切夫斯基，鲍耶，虽然高斯引入曲率和测地线成为现代微分几何的奠基人，但将非欧几何、微分几何、椭圆几何大一统的黎曼几何是黎曼创立的，即使在高斯最强的数论领域，高斯所有数论的著作，没有一篇比得上黎曼猜想这篇仅仅八页纸的论文来的重要！而且高斯也只是统治了初等数论，对代数数论，解析数论贡献不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！几乎在十九世纪近现代所有最重要数学标志性成果，竟然没有一项的发明权是属于高斯的！很惊异吧？在很多人眼里史上第一的数学家，竟然没有一项成果可以跻身19世纪最重要的顶级成果的行列！这就尴尬了！换言之，说来会沉重伤害众多高斯粉脆弱的心灵，那就是，高斯明显被高估了，尤其是在学术成就上！高斯远远没有达到所谓从九霄云外把控数学的地步！这么吹嘘高斯的粉丝恐怕除了是**之外，要么是根本不知道高斯做过什么工作，要么是根本不知道别的学者做过一些什么工作！所以，高斯在学术成就的排位上，必定会持续下降！毫无疑问！从广度与厚度以及全面性来看，高斯无疑可以说是史上第一人，可以说，高斯一个人做到了很多人一起做到的工作，堪称智力奇迹，但论及深度，精度，开创性，洞察力，颠覆性，高斯显然就逊色了。其实，在1854年高斯听了黎曼关于几何基础的就职演讲的那一天，王子就已经被黎曼远远超越了！那一天开始，王子就已经不是史上最佳了！因为高斯的众多学术成果中，找不到任何一项可以列入最顶级的行列，这个不足决定了王子实际上是被过誉了！2.关于高斯的数学笔记！
这既是高斯的一大亮点，同时也是最大的黑点之一！无可否认，高斯去世后整理出来的笔记，即使在当时看来都是很出色的工作，如果早发表出来，至少推动数学提早三四十四五十年！但问题是，在高斯的生前并未公开发表这些成果！因为高斯追求完美的性格，所以没有发表，什么意思，就是说，高斯笔记的成果，实际上并不完美，还有很多不足！高斯研究了高次方程解问题，但发现群论的功绩属于伽罗华，阿贝尔。高斯发现了椭圆函数双周期性，但阿贝尔，雅可比在椭圆函数上的工作比高斯要深刻的多！高斯有了非欧几何的思想，但完成度不如罗巴切夫斯基和鲍耶！高斯苦思一生没有解决的几何基础问题，在他生前已经被黎曼解决！最小二乘法和二次互反率勒让德也发现了，正态分布发明权高斯必须与棣莫弗，拉普拉斯分享，等等等等……什么意思呢？意思就是说，实际上，就是因为高斯没有当时第一时间发表这些成果，而实际上已经被同时代的人做出或超越了！换句话说，有没有高斯这些成果照样都会出现，高斯对这些数学成果的诞生影响不大。高斯笔记在高斯去世之后正式出版的时候，这些成果实际上已经过时了，已经不算是前沿的东西了！一些王子**粉一脸崇拜喋喋不休说什么高斯遗著笔记多么伟大，可笑，实际上，说这些笔记出版的时候，已经一文不值，这有点伤人，但实际情况差不多就是这样。尤其对专业数学家而言，高斯的遗著笔记当然还是有很多启发，但基本已经不是前沿的东西了，几何的发展沿着黎曼的思想，代数群论的发展沿着阿贝尔，伽罗华的思想，分析与幂级数的发展随着魏尔斯特拉斯，柯西的思想发展，数论沿着狄利克雷，黎曼，戴德金的思想为主发展，数学界最重要的发展，跟高斯笔记甚至高斯本人其实关联已经不是很紧密了。高斯笔记体现的是高斯全才与早慧，体现了高斯惊人的天赋所在，但即使高斯正式发表的完成度极高的论文都没有堪称最顶级的开创性成果，何况笔记这些完成度不够有缺陷的成果呢？
吹捧高斯没问题，高斯也曾经是我的偶像，我也是高斯的脑残粉，但切忌胡吹海捧，高斯不是万能的， 正是因为这些笔记没有第一时间发表，所以导致了每个分支都已经被同时代或学生辈的数学家超越，基本渣渣都不剩多少了，完全没有发挥和体现出应有的影响力，这个也是数学史上的一大遗憾！如果这些笔记在写出来当时就发表，即使有缺陷，也依然奇怪最前沿的，并且足以引导后人更进一步，大大提升数学史的进程，毫无疑问！问题是高斯笔记内容当它发表时，已经被超越了！高斯遗著笔记体现了他惊人的全才，早慧，个人能力，天分，相当于他一个人就做了当时大部分顶尖数学家的成就，何等惊人的智力！但是就学术意义，实际上高斯遗著笔记并没有太大的价值，尤其对于十九二十世纪的近现代数学而言，可以忽略不计！这也大大减弱了高斯应得的实际形象力和学术地位！3.高斯以早慧闻名于世，少年天才，流传百代！但纵观高斯生涯，早年卓绝，但到了晚年却显得没那么灵光了。做为当时时代的领先因素，早慧的传奇，在数学各个分支均作出卓越贡献，全才程度无与伦比，从整体学术成就来看，高斯是数学史上一座里程碑，古典数学的集大成者，统治18世纪后半期到19世纪前半期数学的学者，高斯肯定是史上最强数学家之一！但随着数学的进展，尤其是19世纪对后世影响最大的启发现当代数学的最伟大的一系列标志性成果，几乎没有一项是由高斯创立完成的，几何，分析，代数，甚至数论某些领域，所有分支在高斯生前就都已经被其他学者弯道小超车了，这个黑点高斯无论如何没法越过，这点和牛顿完全统治17世纪，欧拉完全统治18世纪，有些差距，论时代统治力，高斯不如牛顿欧拉，而且在洞察力，创造力，颠覆性方面，高斯比起同时代的黎曼，阿贝尔，伽罗华以及后世的庞加莱要逊色不少，比起后世的格罗滕迪克，希尔伯特没什么优势，即使是在高斯还活着的生前，他就已经被黎曼全面超越了。所以注定了高斯绝不可能是数学史上第一人！个人把高斯排在第二的位置，从各种学术因素综合考虑，目前来说还是勉强靠得住的。因为比起欧拉，实际上，横向时代的视角来看，王子与欧拉综合学术成就半斤八两，而且相比高斯对19世纪的时代统治力，欧拉在18世纪的统治力显然更有说服力。不过高斯在抽象性与严密性上超越不少（当然有时代因素），就学术论学术，王子与欧拉都是卓越的全才型天才，均对各个领域分支作出同等级的贡献，但高斯无论深度或完成度都要略微胜过欧拉半筹，欧拉是分析的时代化身，高斯则对数论和微分几何同时做到当时最佳，欧拉的成果相对来说虽多但较零散，而高斯的成果较系统化，（这当然也有时代发展的因素），所以高斯比起欧拉，还是领先一个身位。比起希尔伯特，格罗滕迪克，庞加莱三位，高斯的学术成就与这三位二十世纪的大师相比基本也是半斤八两，学术完成度与深度，贡献和影响力都旗鼓相当，甚至在未来这三人的地位都有可能超过高斯，而且这三人都是对现当代数学的影响力是直接的和卓越的，学术难度都超越高斯不少。但是高斯最大的优势是时代优势，比起这两位位大师，高斯作出同级别同重量级的学术成就比起这两位大师早了一百年！这三位大师的学术影响力还需要更多的时间的考验，也许再过一两百年，这几位大师的地位都可能超越高斯，但现在排在高斯之前，还不合适。而比起伽罗华，阿贝尔，虽然伽罗华和阿贝尔引发了群论以及结构化抽象代数的思潮，进而成为当代数学最重要的数学范式与浪潮，并深刻影响了物理学。可以说，高斯没有一项成就比得上。在思想上，洞察力与创造力上，高斯比起这两个年轻人差距不小，尤其群论和抽象结构化数学已经统治了当代数学，这个影响力无与伦比，当代数学早已远远不是高斯的时代的东西了，对后世影响力高斯拍马难及。但是，高斯在数学成就的全面度，完成度要远远超越伽罗华和阿贝尔，高斯在各大分支均做出时代顶尖的成就，而阿贝尔，伽罗华更像代数偏才，阿贝尔分析还可以，对几何数论贡献可以忽略，伽罗华本人更是对几何分析数论几乎没有贡献！整体综合成就上，高斯已经超越阿贝尔。伽罗华很多了！其次，即使说到阿贝尔，伽罗华代表性的群论和结构化抽象化数学思想，这当然极其灿烂光辉，高斯没有一项成就比得上，但是问题是，伽罗华阿贝尔对群论和抽象代数的思想只是起了个源头，做了萌芽状态的突破，但因为短命离世，并未作出更多实质性的突破，也就是说虽然伽罗华阿贝尔两人体现了深邃的洞察力创造力，但他们更多的是起了一个创始人萌芽思想的作用，群论和抽象代数的主要功绩更多的是由后人如庞加莱，希尔伯特，格罗滕迪克以及戴德金等学者完成，也就是说，在成果的完成度上，伽罗华阿贝尔的成果还是较原始和粗糙，并未实质性统治或改变数学。在这点上，伽罗华和阿贝尔比起黎曼差距很大。本来如果伽罗华阿贝尔再活二三十年，保持这样的创造力，完全可以与庞加莱甚至黎曼一较高下了，数学成就史上前三甚至前四里就没有高斯什么事了。而比起伽罗华阿贝尔，高斯的学术完成度要超越他们很多，尤其是数论和微分几何的成就，基本终结了古典数学时代，定型了领域和研究，何况高斯对各个数学分支都具有广泛的杰出成就，在1840甚至1850年以前是独领风骚的，这点上阿贝尔，伽罗华无法与高斯相提并论。所以高斯总体数学成就比阿贝尔伽罗华要高出大半个档次到一个档次，没有争议。综合以上，目前高斯排在史上第二的位置，暂时还是合适的。
来源：数学中国，以上文章观点仅代表文章作者，仅供参考，以抛砖引玉！
