2020年南通市中考数学压轴题解析

这道题是2020年南通市中考的压轴题，难度很大，不光解题难度大，出题难度也很大，也是体现出南通出卷人水平的一道题。当然，赞叹归赞叹，考场上真的遇到了，可不是个好事情，做不出来是大概率事件，甚至都不明白它到底要我们干什么。下面就来看一看这道题如何顺藤摸瓜会到出题人的意。

第一问

先读懂对余四边形的含义，对照到这个图中，∠B+∠D=90°，让我们求sin∠CAD的值。

很多同学读到这，往图上一看，只要∠ACD=90°，这道题不就解出来了吗，然后就拼命的去证明∠ACD=90°，可是你有没有想过，如果∠ACD≠90°怎么办？你整个的目标就是错误的，目标都错了，你自然做不出来。这也是很多同学做证明题的通病，经常想着想着就把自己绕进去了。

这种情况在现实中也比比皆是，比如新冠疫苗刚刚出来，网上很多传言不安全，然后举出各种例子来佐证，这就是先假定结论正确，然后去搜集各种论据来支持，选择性忽视大部分相反的论据，那么自然就会在错误的道路上越走越远，这种现象俗称“阴谋论”，所以有时候确实觉得阴谋论有那么点道理，但又有一种怪怪的感觉。

回到这道题，如果先假定结论，那么很容易就陷入阴谋论的怪圈，这是数学题，不是现实中那些模糊的结论，你是不可能找到根据的，自然就陷入无限的焦躁，加上时间紧张，心态就崩了，这完全是自己搞崩自己。

那么我们应该怎么做呢？

从条件出发，看看能推出什么结论，我们知道AB=AC，所以这个三角形是等腰三角形，等腰三角形想到三线合一，我们过A作BC的垂线，

这样我们发现红蓝角相加等于90°，那么这两个蓝色角就应该相等，可是题目让我们求出∠CAD的正弦值，那么我们还得过C往AD作垂线

第二问

第三问

老实说，我看到这道题也被恶心了，出题人图都不给，让你自己画，讲道理，这题如果图画不标准，很难看出破题点，不过我估计大多数同学已经被前面两问折磨的要死要活了，可能都没兴趣看第三问了，第三问基本上是出题人对顶尖学生发起的挑战。

先把图画出来

画完先观察一下，发现△ACB是等腰直角三角形，那么就出现了45°，很关键的度数，再看一下题干，∠AEC=90°+∠ABC，那么∠AEC=135°，又因为是对余四边形，所以∠CDA=45°，之后就是关键思维跳跃，我们要发现∠AEC+∠ADC=180°，这说明什么呢？这说明D,A,E,C四点共圆，这是什么道理？

我们知道圆的内接四边形中对角互补，那么反过来，对角互补的四边形的四个点也是在同一个圆上的，严格的证明同学们可以自己证一下，但这个结论这个需要大家记住。

第二种，既然是四点共圆，我们先找到圆心，怎么找圆心？

因为∠ADC=45°（青红角），所以它的圆心角AFC=90°，圆心角为90°的三角形一定是等腰直角三角形，所以圆心F坐标就是（-1,2）

技术总结

1.做证明题不要有阴谋论的思想，我们学数学就是学一种严谨的思维方式，要从条件推出结论，而不是先下结论，再去找佐证。

2.陌生式子的要发觉它的特点，往自己熟悉的式子上进行变换，虽然有难度，但是多去思考一下还是有突破口的。

3.45°角的重要性我已经强调了无数遍，它涉及到各种模型，只要题目中有45°，它必然是突破口。

4.四点共圆的隐圆要了解，知道是圆，目的一定是倒角

5.给出的比例一般不能直接求出，需要进行相似转化，压轴题没那么简单