整除和余数(二)
昨天有人后台问我,他家娃做不到举一反三,有没有什么办法?
办法?就是一直跟着我公众号走啊!
要知道很多人一辈子也学不会举一反三啊,吃饭是基本技能,系鞋带是基本技能,但是举一反三并不是啊!
何况代数、几何的差异,使得举一反三这四个字说起来容易做起来难。我只能说你一直follow我的公众号,可能能帮你孩子培养起举一反三来,但是世界上谁敢说我一定能帮你孩子做到举一反三?
教育孩子一定不能着急,你造娃的时候猴急猴急的,怎么教育娃就这么没耐心呢?我写的这个系列文章的根本目的在于教家长怎么教孩子,你要花时间陪孩子,并且给孩子指出有哪些可能是正确的路,哪些是错误的路,不要让孩子把你蒙了。
如果你说你实在看不懂,没耐心看,那以后就请您不要苛责孩子——你一个成年人都没有耐心去理解,凭什么要求你认知能力不健全的孩子做到呢?讲道理,这些文章都很浅显,除了因式分解的第11讲有一点点难度,其他难的我都没涉及。如果你愿意把孩子扔进培训班由他自生自灭,那么您请自便。
有了昨天的简单分析之后,我们来看稍微难一些的整除问题。
某七位数1993xyz能同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,那么xyz是多少?
好了旁友,我已经昏古气类。。。
昨天只是考虑两个数,都已经要崩溃了,现在考虑8个数?!
很多家长从少年时代一直到现在看见数学题就烦,那怎么可能搞的好嘛!一定要冷静,只有冷静才能发现解决问题的方法啊!
首先我们来看,虽然这里有8个数,但是如果被8整除,那么必然被2,4整除,所以转眼就变6了数了吧?
然后被9整除,是不是一定被3整除了?同时被8,9整除必然被6整除啊,所以是不是只剩下4个:5,7,8,9?
再看,如果被5和8整除,那么末位数字必然是0,所以这这时候只剩下被7,8,9整除,求x,y各是多少?
题目是不是被简化了很多?
后面不会做,也不要紧,如果能陪孩子分析到这步,也是极好的啊!得不到最后结果,能做出一部分,这本身就是胜利吗!
接下来,我们就来考虑各自整除的特点了:
被7整除是最麻烦的,最后考虑,被8整除的话就看后三位数,因为结尾是0,所以xy构成得了两位数只要是4的倍数就可以了,也就是从04-96,共24个数,这时候哪怕你一个个试,最多也只要24次就能把答案凑出来了,相比原来1000次,计算量已经降低很多了。
再考虑被9整除,1993各位数字之和是22,所以x+y只能等于5或者14.
先来看5,两数之和等于5,并且要是4的倍数,那么只能是32,代入原数,得到1993320,刚好能被7整除;
再来看如果和是14,并且xy要是4的倍数,那么只能是68,代入之后1993680并不能被7整除,所以不满足题意。
是不是不像想象中那么难?
为什么说数学能很好地锻炼逻辑思维能力?从上面整个抽丝剥茧的过程我们就可以看到:丝丝入扣——这四个字简直写满了全过程。
好,我们再来一个更难一些的:
已知41位数5555....x999...9(5和9各有20个)能被7整除,求x是多少?
估计九成以上的人直接就把题目给撇了。
说好的7的整除规律很麻烦的呢?!
怎么就出要被7整除的呢?!
可题目就出了怎么办吧?
平复一下激动的心情,然后心平气和地来看问题。
我们考虑被7整除的特点是:最后一位数乘以2减去其他剩下的数字组成的数,得到5555....x999...81,再操作变成5555....x999...6,完全没有规律可言!
怎么办?
别忘了,被7整除还有一招:用末三位数减去前面的数,如果能被7整除,那就能被7整除!
这样操作一次就变成了5555....x999...000,而000不影响对7的整除性质,所以只要考虑5555....x999...9(14个9)能否被7整除即可,这样操作三次,就变成了考虑5555....x99能否被7整除即可!
是不是简化地很快?
但是前面的那一串5可怎么办?
通过观察之后我们发现,999999是一定能被7整除的!任何六个一样的数字都能被7整除!所以,555....555(18个5)一定能被7整除,题目就变成了55x99什么时候能被7整除。
这时候,后三位减去前两位得到x44,然而我们注意到,44=100-56,而56是7的倍数,也就是说,(x+1)00-56是7的倍数,那x只能等于6了,题目做完了。
这一路分析下来,有很多举一反三的地方可以体会。
所以,整除问题一定要先把整除的性质弄明白!
附:被7,11,13整除性质的证明。
设一个数为1000x+y,我们改写成1001x-x+y,因为1001是7,11,13的倍数,所以我们只要验证y-x或者x-y是否能被7,11,13整除即可。证毕。