西姆松定理

前面有位同学的解法中提到了西姆松定理，下面引用百度中的内容，做个简介。

西姆森定理（Simson theorem），亦译为西姆松定理，是关于平面几何中的点共线的两个定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线，此线常称为西姆松线或译西摩松线（Simson line）。西姆森定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

定理内容

西姆松定理说明：有三角形ABC，平面上有一点P。点P在三角形三边上的投影（即由点P到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线或译西摩松线, Simson line）当且仅当点P在三角形的外接圆上。

西姆森定理说明图

西姆松定理证明

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。这条线称为西姆松线。

如图，P在△ABC的外接圆上，PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F，则D、E、F共线。

证明：

∵∠PFA=∠PDA=90°

∴A、D、F、P四点共圆

∴∠PFD+∠BAP=180°

∴∠PFC=∠PEC=90°

∴C、E、P、F四点共圆

∴∠PFE=∠BAP

∴∠PFE=∠BAP

∴∠PFD+∠PFE=180°

∵A、B、C、P四点共圆

∴D、E、F三点共线