2021巴尔干数学奥林匹克马其顿代表队选拔考试

1.锐角中, 三条高交于垂心. 为外接圆上任意一点,   与的外接圆分别与直线再次相交于点. 求证: 直线过的中点.

2.数列定义如下: , 对任意, , .
求证: 对任意互素的正整数, 存在非负整数, 使得 且 .

3.已知均为非负实数, 且.求证:

4.甲乙两人在一个三维的立方体上面玩轮流染色的游戏. 甲先开始. 在甲的回合中, 甲选择一条未染色的边, 将其染成紫色. 随后进入乙的回合. 在乙的回合中, 乙选择一条未染色的边, 将其染色绿色. 特别地, 乙有唯一一次机会, 可以不选择边而选择一条对角线, 将其染成绿色. 双方轮流操作, 如果某位玩家在当前回合不能操作, 则直接跳过该回合, 进入对方的回合, 直到双方都不能操作为止.
当游戏结束时, 如果从正方体的某个顶点出发,可以沿绿色的边(或对角线)移动到达遍历所有顶点, 则乙获胜. 否则甲获胜.问谁有必胜策略.