一个向量恒等式的应用 / 四六文摘

疫情尚未结束，空课仍在继续．每次打开空课后台数据，都有几个学生的分数偏低，学生解释说是网络不畅的原因导致，但是让家长陪着看，分数却立马就上来，可见还是有学生不够自觉．没有期待就没有伤害，好在我们身经百炼，已经不再是玻璃心了．永远怀着一颗积极的心，相信我们为学生做的会帮助他们更好地学习．

本文将谈谈一个有关向量的恒等式及其应用.

1.极化恒等式

等式的成立是显然的．至为什么叫”极化恒等式“，我搜了很多资料，最终还是没有找到答案．如果试题中关于的信息较少，而关于或的信息较多，这个时候，我们就可以应用极化恒等式来求，这实际上是把和作基底来处理问题了．

由于这个恒等式在应用时多数是与图形有关，所以我们再看看基于平行四边形和三角形的极化恒等式．

平行四边形模型

如图，在平行四边形中，因为所以有：

但是，更多用到的是基于三角形的极化恒等式.

三角形模型

如图所示，点是的中点，则有：

我一直诧异于这些结果.漂亮的结果往往都是直观的，而基于平行四边形或三角形的极化恒等式我承认其漂亮，但我不能获得其直观.

有的时候不得不妥协，强迫症会害死人.不能同化，便顺应之.

对于下面的例题建议学生先自己解答一下，然后再对比文中的解法，这样操作将会有更好的效果.

例1. 在中，是的中点，，,则____ ．

解：由已知得：,

所以 例2. 在中，，，是边的中点，则_______.

解：由已知得：

所以.

上面的两个例题即使我们不知道极化恒等式的存在，只要有“基底思想”，也是不难解出的.

例3. 在中，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为__________.

解：取线段的中点,则所以结合图形易得：

，所以，所以所求范围是.

例4. 在中，是上一定点，满足，且对边上任意一点，恒有，则( )

解：取线段的中点，则由已知可得，当点与重合时，取最小值，即取最小值，所以,取线段的中点，由题中比例关系可得//，所以，于是选.

例5. 若平面向量满足，则的最小值是_____.

解：

等号成立的条件

即与反向且.

（凡是求最值的试题，都要验证等号能成立的条件.）

对于一种方法，如果只能欣赏而不能模仿，那只能使我们望而却步。但是通过以上的例题学习，相信你能看到利用极化恒等式处理数量积问题是容易被理解和掌握的，当然，我们不能仅仅停留在模仿的层次，更为重要的是抓住解法的本质——基底思想.

养成题后反思的习惯，力求透过现象看本质！共勉.

为了丰富学生食用本文的体验，特地准备了以下佐料，适当添加，口味更佳！

1. 已知是矩形所在平面内任意一点，求证：.（提示：取与的交点，然后用极化恒等式。）

2. 已知是边长为2的正方形内一动点（含边界），则的取值范围是__________. （答案：）

3. 在，，已知点是内一点，则的最小值是 _____________ . （答案：）

4. 在同一平面内，点位于两平行直线的同侧，且到的距离分别为，点分别在上，且，则的最大值为_________.（答案：）