关于地球倾斜轨道同步卫星8字轨迹的一个简单证明

数日前，我在练习册上看到了一个8字轨道，我问遍了周围的所有人，包括老师，没人说得清楚它是怎么来的。看了几个知乎的回答，发现大部分的回答，要不就是用到了高等数学知识（比如说黎曼几何）；要么就是用很抽象性的语言去描绘这整个过程，让人看得云里雾里。

经过一番思考，枪毙了五六个解释的方法以后，我发现解决这个问题的关键在于如何比较卫星在地球上投影的轨迹和地球线速度的大小，然而因为卫星轨道是倾斜的，所以地球的线速度也会变化，给证明过程带来了种种困难。

比如说，我一开始想到了卫星水平方向和竖直方向速度的转化，但是考虑到地球是一个曲面，这应该是一个三维问题，用这种二维的方法根本说不明白；然后我想到了用空间向量做一个速度向量为半径的圆去做比较，却发现地球上的线速度和卫星速度相差很多……

最终，运用了放大与缩小的思想，我成功地将两种速度转化到了同一个位置，从而作出了对这个问题相对完善、直观的解释。我也希望，这是能够终结这个回答的解释。

有多直观呢？我的证明过程，哪怕是刚学了万有引力这一章节的高一学生也能够轻松地去理解：为什么倾斜卫星会走出8字形的轨迹。

而我的物理老师——一位有着三十年教龄的高三教师，一开始也没想清楚这个过程，但是看了我的证明以后，马上便明白了。

这种8字轨道的问题，教材课本中完全没提过，只是练习题中随便引用的一个知识背景，而我这揪住了这个细小的知识点，完成了一次我从未想过我能完成的证明。这个证明其实很粗浅，甚至会让在座的一些人笑出声来，但是鉴于它对我的特殊意义，我斗胆将它放上来，以供各位指点。

那么事不宜迟，证明过程的图片我放在了下面，因为不太会在电脑上打出数学符号和绘图，所以只好手写了，莫怪。

特别注意：

首先，为了简便直观地证明（也是因为能力有限），所以卫星轨道近似为圆形。

其次，在证明结束后，我给出了补证1、推广1、2、3，是因为我在浏览回答时，他们描述了这些现象。我尝试着给出了对这些现象的解释，但是这不意味着我是对的。说实话，对于补证1、推广1，我自认为问题不算大，但是推广2、3我是凭直觉写的，相当的不严谨，因此欢迎各位补充。

最后，这个问题的内容，高考几乎是不可能考的，唯有自主招生的难度才可能接触，所以对这个问题抱有好奇心的高中生也不必当真，权当一乐。