三角形（二十八）

上一节的总结给我们提供了一种思路：对于等边三角形、等腰直角三角形、正方形的题目，出现旋转变换的可能性会比较大。当然，基于我们的日常训练，如果第一时间反应不过来是旋转变换其实问题不大，只要在尝试其他方法失败后能联想到旋转变换即可——换句话说，旋转变换除了明显的手拉手模型外，一般来说并不是首选。但是如果能想到用旋转变换的话，往往会简化解题过程。

例  在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC。求证：AB^2+BC^2=BD^2。

经过我这么久的熏陶，肯定知道这是要用勾股定理了，而且很显然，这个直角三角形应该是以AB，BC为直角边，BD为斜边的直角三角形，关键是我们怎么构造出来。

如果硬来，过B做BE⊥AB，然后截取BE=BC，这是看来最直接的想法，这样我们只要证明AE=BD即可。

当我们把辅助线做完以后，很容易发现这其实就是个旋转变换——只要连接AC和CE，就是用肉眼也能看出△ACE和△DCB应该是全等的。这时候旋转变换就成了验证你思路的一个重要工具。

由于∠ABC=30°，所以∠CBE=60°，而BC=BE，所以△BCE是正三角形。因为CE=BC。我们的目标是AE=BD，而得到这个目标就是证明△ACE和△DCB全等，这等于告诉我们：要么证明两个对应角相等，要么证明DC=AC，且∠DCB=∠ACE。

理由是什么呢？

因为全等判别定理就四种：SSS，SAS，ASA，AAS。目标是证明一条边，所以第一种肯定不行，只能从后面三种考虑。而如果是两边相等，那么相等角必须是两边的夹角。

注意到AD=DC，且∠ADC=60°，所以△ADC是正三角形，马上得到AC=CD，且∠ACD=60°，于是∠DCB=∠ACE，进而△ACE和△DCB全等，命题得证。

你看，纵使一开始没判断出来用旋转变换，但是在证明过程中仍然发挥了作用。

我们再看一个例子。

如图所示：以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形CAFG，连接EF，过A作BC的垂线，交EF于M，求证EM=FM。

如果这个题目在不看任何提示的情况能独立做出来，那么不光是旋转变换，整个平面几何其实都可以算学得非常好了。当然，本题有很多种解法，我们就来看看用旋转变换怎么解决。

我们来看这个题目怎么破。

证明线段相等比较容易想到的就是全等。但是放眼过去，你要想证明△EMA全等于△FMA这玩笑开的就有点大，然而图中和这两条线段相关的三角形就只有它们俩，所以一定不是通过这一对三角形的全等。

当然，这里有一对旋转变换得到的三角形：△FAB和△CAE，这两个三角形之间差了一个旋转90°，会不会有用呢？

似乎没什么用。

我们适当降低难度：如果给了提示，从旋转变换的角度出发可以证明本题，你又会怎么考虑呢？

既然是确定旋转变换有用，那么我们自然考虑这两个正方形怎么用。从之前的例子里我们看到，正方形的作用是提供两个全等三角形，这两个全等三角形可以从一个旋转90°得到另一个。

这时候我们可以看出有两种选择，第一种是把△EMA和△MAF分别以逆时针和顺时针旋转90°；第二种是把△ABH和△AHC分别顺时针和逆时针旋转90°。

哪种对？

没错，你猜对了，我也不知道。与其空想，不如动手试试。我们发现，第一种情况做了以后，得不到什么有用的结论，而第二种情况中，我们将△ABH旋转到△AEK，△AHC旋转到△AFL，显然AK=AH=AL，且EKLF是一个直角梯形，A是KL的中点，而KL∥BC，所以MH⊥KL，于是MH∥EK∥FL，所以M也是EF的中点。

做完了么？

贼老师你这么问了肯定没有啊！

那么问题在哪里？

不看解答的情况下，如果能指出这个证明的漏洞，那也是有相当的水准了。下面要公布答案了：

没错，我们并没有证明K，A，L三点共线！请尝试把这个补齐，这样这个证明就完整了。

所以，非手拉手模型的旋转变换的特点并不如平移和对称变换那么鲜明，往往是作为辅助手段来检验思路是否正确，但是如果手拉手看不出旋转，那可是要挨揍的~