知其源，得其法—探求二倍角条件下求值问题的一题多解
01
原题呈现
Law
02
思维起点
Law
（1）、从条件出发
首先由弧关系得角关系这是解决问题的前提
（2）、基本模型出发：三角形2倍角问题，
2倍角问题往往需要作相应的辅助线，因为等腰三角形顶角的外角是其任一底角的二倍, 因而构建等腰三角形是破解二倍角问题的基本方法。
03
解法赏析
Law
类型1、作角平分线内构等腰三角形
解法1、（杭州刘旭旺老师）
解法2、（江西肖祖斌老师）
解法3、（嘉兴曾胜露老师）
求EF过程参照以上过程。
类型2、内构双等腰三角形
解法4、（浙江金华虞小敏老师）
类型3、外构双等腰三角形
解法5、（杭州陈汉老师）
类型4、外构等腰三角形
解法6、（杭州刘旭旺老师）
【视角2】三角形中的2倍角关系联系正弦定理和2倍角正余弦公式
解法7、（浙江莲都叶老师）
解法8、（厦门张平源老师）
一般化
Law
（即：a2=b(b+c)本题证明方法也有很多，有兴趣的读者可以自行研究）
【结论】:一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。
解法9、（杭州梅刚勋老师）直接运用了结论求解
延伸
Law
问题1：如何分割三角形成2个等腰三角形，应满足什么条件？
基本结论：
问题2、是否有一些三角形， 它可以分割成2个等腰三角形，并且有2 种不同的分法呢（若不同分法中各三角形全等视作同一种分法）？
结论：
【本延伸结论参考：数学教学通讯（初中教育）
《对一个课本探究活动的“探究”》-----钟战江
04
归纳反思：
Law
章建跃在《图形的变化》的数学思维方式中指出：“几何就是要研究和理解几何图形的本质和结构，研究结果：几何图形的定性性质与定量性质”，把定性的结果变成定量的结果，把存在的东西具体表现出来，这是数学的基本追求。
本题中我们可以借鉴的三角形二倍角基本处理方法：
三角形内2倍角的定量性质结果：
05
命题者说：
Law
【福建莆田姚国成】：这个题虽然在圆背景下但其实就是想让孩子们探究二倍角三角形的解法。把二倍角隐藏在圆里，通过弧的关系导出倍角三角形，已知三角形两边可通过多种构造求第三边，再结合相似或解三角形求其他线段长。
06
变式：
Law
01
图解简析：
02
03